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1、14数学通讯 1998年第12期在极坐标系中如何求曲线的交点冯海容(浙江黄岩中学 317400) 在直角坐标系中求两条曲线的交点,是通过联Q=H,立两曲线方程求解而得到.但在极坐标系中求两曲又PH+kP=(k∈Z),4线交点,直接通过解联立方程不一定能求出所有的PP交点,往往会漏解.不过我们可以修改联立方程后,解得:H=-kP,Q=-kP(k∈Z).44就可象在直角坐标系中解联立方程一样简单、方便PP所以两曲线交点是极点以及点Ak(-kP,地求出两曲线的所有交点.44-kP)(k∈Z).
2、在极坐标系内,一个点的极坐标有无数个,特别例2 在极坐标系中求两曲线:Q=1+cosH,Q=是极点的极坐标就更特殊,它的极角可以取任意数值.设非极点的点P的一个极坐标为(Q,H),则点Pcos2H的交点.k解 因为1+cosH=0,cos2H=0都有解,所以极的所有极坐标为((-1)Q,H+kP)(k∈Z).如果点P点是两曲线的交点.在曲线#:Q=f(H)上,则P至少有一个极坐标((-Q=1+cosHk1)1Q,H+k1P)(k1∈Z),满足曲线#:Q=f(H),反过又由得(-1)kQ=cos2(H+kP)(k∈Z
3、)k来,若P的所有极坐标中有一个极坐标((-1)1Q,H1+cosH=±cos2H,+k1P)(k1∈Z),满足曲线#:Q=f(H),则点P(Q,H)1-171在曲线#上.利用上述结论可以解两曲线的交点.cosH=,或cosH=0,或cosH=-.42定理 设曲线#1:F1(Q,H)=0与曲线#2:F2(Q,1-17当cosH=时,H=2kP±H)=0的非极点的交点为P,则点P的所有极坐标4中必有一个极坐标(Q1,H1)为方程组1-175-17arccos(k∈Z),Q=;F1(Q,H)=044的解.kPF2((-
4、1)Q,H+kP)=0(k∈Z)当cosH=0时,H=kP+(k∈Z),Q=1.2证 设非极点P(Q,H)是两曲线#1,#2的交点,12P1当cosH=-时,H=2kP±(k∈Z),Q=.则P在曲线#1上,所以点P的所有极坐标中必有232k一个极坐标Q1=(-1)1Q,H1=H+k1P(k1∈Z).满足5-17所以两曲线的交点为极点,点A(,F1(Q1,H1)=0.同理点P(Q1,H1)在曲线#2上,所以点4kP的所有极坐标中必有一个极坐标Q2=(-1)Q1,H21-175-17arccos),点B(,-arcco
5、s=H1+kP(k∈Z)满足F2(Q2,H2)=0,所以非极点的44交点P的一个极坐标(Q1,H1)是1-17PP1),点C(1,),点D(1,-),点E(,F1(Q,H)=04222① 的解.k2P12PF2((-1)Q,H+kP)=0(k∈Z)),点F(,-).323显然,若Q1,H1是方程组①的解,则点P(Q1,H1)可见在极坐标系中求两曲线#1:F1(Q,H)=0与(也有可能为极点)是两曲线#1,#2的交点.#2:F2(Q,H)=0的交点,只要先判断极点是否为交由上述定理,我们得到求两曲线#1:F1(Q,H
6、)=点,再求出方程组①或方程组:0,#2:F2(Q,H)=0的交点的一般方法.即kF1((-1)Q,H+kP)=0先判断极点是否是两曲线的交点,即当Q=0(k∈Z)F2(Q,H)=0时,F1(Q,H)=0,F2(Q,H)=0两者都有解,极点是两的解确定出交点,就可以解决.曲线的交点,否则两者只要有一个无解,极点就不是两曲线的交点.然后再求出方程组①的解.参考文献P例1 在极坐标系中求两曲线:Q=H,H=(Q41 张文忠.关于极坐标系中曲线的交点.数学通讯,∈R)的交点.1998(3)解 显然极点是两曲线的交点.
