最新上海大学-高等数学-环与域教学讲义ppt.ppt

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1、上海大学-高等数学-环与域环的定义定义14.24设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:(1)构成交换群，(2)构成半群，(3)·运算关于+运算适合分配律，则称是一个环.为了叙述的方便，通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.因此在环中写xy意味着x+(y).2环的实例例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称

2、为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n（n≥2）阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)设Z＝{0,1,...,n1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.3环同态定义14.26设R1和R2是环.f:R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)成立，则称f是环R1到R2的同态映射，简称环同态.例4设R1=是整数环，R2=是模n的整数环.令f:Z→Zn，f(x)=xmodn，则

3、x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)f(xy)=(xy)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)f是R1到R2的同态，是满同态.7特殊的环定义14.27设是环，(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环.(3)若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环.(4)若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.零因子的实例：在模6整数环中，有32=0，而3和2都不是乘法的零元.这时称3为左零因子，2

4、为右零因子.这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环.8实例例5(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.(2)令2Z={2z

5、z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环.可以证明对于一般的n,Zn是整环当且仅当n是素数.9域定义14.28设R是整环，且R中至少含有两个元素.若a

6、∈R*,其中R*=R{0}，都有a1∈R，则称R是域.例如有理数集Q、实数集R、复数集C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域.整数环Z是整环，而不是域.对于模n的整数环Zn，若n是素数，那么Zn是域.10实例(2)不是环,关于加法不封闭.例6判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.如果不构成,说明理由.(1)A={a+bi

7、a,b∈Q},其中i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A={2z+1

8、z∈Z},运算为实数加法和乘法.(3)A={2z

9、z∈Z},运算为实数加法和乘法.(4)A={x

10、x≥0∧x∈Z},运算为实数

11、加法和乘法.(5),运算为实数加法和乘法.解(1)是环,是整环,也是域.(3)是环,不是整环和域,乘法没有单位元.(5)不是环,关于乘法不封闭.(4)不是环,A关于加法不构成群.11格与布尔代数格的定义格的性质格的等价定义子格与格的同态特殊的格布尔代数的性质布尔代数的同态与同构12格的定义定义14.29设是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，即x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界.注意

12、：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义.13实例例7设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数；x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.实例：14实例(续)例8判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)，其中P(B)是集合B的幂集.(2)，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别给下图解:(1),(2)是格，(3)中的都不是格.15格的性质——对偶原理定义14.30设f是含有

13、格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的命题.令f*是将f中的≼替换成≽、≽替换成≼