第四章-稳定性与李雅普诺夫方法.ppt

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1、第四章稳定性与李雅普诺夫方法本章的主要内容李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第二法李雅普诺夫在线性和非线性系统中的应用§4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义设所研究系统的齐次状态方程为一般为时变非线性函数。如果不显含t，则为定常的非线性系统。如果存在状态矢量xe，对所有的t，都使式成立，则称xe为系统的平衡状态。上式描述了从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运动的轨迹，称为系统的运动或状态轨迹。系统的平衡状态平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知所求得的解x,状态方程，令平衡状态。对任意一个系统，不一定都存在平衡点，即

2、使有，也不一定是唯一的；由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点，以后就只讨论系统在坐标原点处的稳定性。便是稳定定义李雅普诺夫意义下稳定如果系统对任意选定的实数，都对应存在另一个实数，使当时，从任意初始状态x0出发的解都满足：则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。实数与有关，一般情况下也与t0有关。如果与t0无关，则称平衡状态xe为一致稳定。渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出，而且最终收敛于xe，则称平衡状态xe是渐近稳定的。大范围渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空

3、间中所有初始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。不稳定如果对于某个实数和任一实数，不管这个实数多么小，由内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过，则称平衡状态xe不稳定。稳定性定义的平面几何表示设系统初始状态x0位于以平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内。（a）李雅普诺夫意义下的稳定性（b）渐近稳定性（c）不稳定性李雅普诺夫第一法（间接法）线性系统的稳定判据线性定常系统Σ:(A,b,c)平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有

4、特征根均具有负实部。这里的稳定是指系统的状态稳定性，或者称内部稳定。线性系统的输出稳定判据如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统Σ:(A,b,c）输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部位于s的左半平面。例1设系统的状态空间表达式为：试分析系统的状态稳定性和输出稳定性。解:（1）有A阵的特征方程特征值为-1和1，所以系统的状态不是渐近稳定的。（2）系统的传递函数为：传递函数的极点位于s平面的左半平面，所以系统的输出稳定。状态稳定和输出稳定1）状态不稳定，输出不一定不稳定2）只有当系统的传递函数

5、不出现零极对消现象，并且矩阵A的特征值和系统传递函数的极点相同时，系统的状态稳定和输出稳定才是一致的。非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：xe为其平衡状态；f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。为讨论系统在xe处的稳定性，可将线性矢量函数f(x,t)在xe邻域内展成泰勒级数，得：为级数展开式中的高阶导数项雅可比矩阵若令，并取一次近似，可以得到系统的线性化方程：式中非线性系统的稳定判据1）系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在xe是渐近稳定的，且系统的稳定性与R(x)无关；2）如果A的特征值，至少有一

6、个具有正实部，则原非线性系统在xe是不稳定的。3）如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决于高阶导数项R(x)。例2设系统状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。得系统的平衡状态为在处线性化，得状态矩阵为特征根为-1和1，所以原非线性系统在解：解方程处是不稳定的。状态矩阵为特征值为±j1，实部为0，不能由线性化方程得出原系统在处稳定性的结论。处线性化，得在李雅普诺夫第二法（直接法）基本思路：从能量的观点分析，借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。一个系

7、统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将达最小值。这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态是不稳定的。李雅普诺夫函数是正定的标量函数，是虚构的广义能量函数，通过能量函数对时间的导数的符号来判断稳定性。预备知识标量函数的符号性质设V(x)为有n维矢量x所定义的标量函数，且在x=0处，恒有V(x)=0。所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果1），则称V(x)为正定的，如：2），则称V(x)为半正定（或非负定）的。3），则称V(x)为负定的。4），则称V(x)为半负

8、定（非正定）的。5）或，则称V(x)为不定的。二次型标量函数设为n个变量，定义二次型标量函数为：二次型函数的标准型对二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T,通过变换，使之化成：称为二次型函数的标准型。V(x)正定