第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

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1、第四章稳定性与李雅普诺夫方法7/1/20211一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”。可按两种方式来定义系统运动的稳定性：通过输入―输出关系来表征的外部稳定性通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之间才存在等价关系。7/1/20212在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代

2、数方法判定系统的稳定性，非常方便有效。至于频域中的奈奎斯特(Nyquist)判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方向。上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。7/1/20213本章重点讨论李雅普诺夫第二法。它的特点是不求解系统方程，而

3、是通过一个叫李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有广泛的应用。7/1/202144.1外部稳定性和内部稳定性7/1/20215的输入u(t)，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入－有界输出稳定的，并简称为BIBO稳定。一、外部稳

4、定性考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足条件：7/1/20216在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；在这种假定下，系统的输入－输出描述才是唯一的和有意义的。对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是：当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元传递函数的所有极点均具有负实部。7/1/20217如果外输入u(t)0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响应(t;0,x0,0)满足关系式：则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。二、内部稳定性7/1/202

5、18对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：其中n为系统的维数。那么就可利用劳斯－赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数来判断系统的渐近稳定性。当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：7/1/20219三、内部稳定性和外部稳定性间的关系结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳定的。证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换，可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不能观四个部分，而输入－输出特性只

6、能反映系统的能控能观部分。因此，系统的BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定，它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与外部稳定性必是等价的。7/1/202110分析系统的外部稳定性与内部稳定性传递函数的极点s=－1位于s的左半平面，故系统外部稳定。可得特征值1=－1，2=+1。这是因为具有正实部的特征值2=+1被系统的零点s=+1对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。故系统不是内部稳定的。举例7/1/2021114.2李雅普诺夫关于稳定性的定义7/1/202112线性

7、系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义7/1/202113一、系统状态的运动及平衡状态设所研究的齐次状态方程为：f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。7/1/202114设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：表示x在初始时刻t0的状态。x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运动的轨线，称系

8、统的运动或状态轨线运动、状态轨线7/1/202115成立，则称xe为系统的平衡状态。若系统存在