2021年高考数学极坐标与参数方程全突破专题08 椭圆的极坐标方程（解析版）.docx

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1、椭圆的极坐标方程一、例题讲解1.（2019-2020·湖南·高考模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P1,-1，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=243-cos2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l与曲线C交于M，N两点，求

2、PM

3、⋅

4、PN

5、.【答案】解：(1)由ρ2=243-cos2θ，有ρ23-cos2θ=24,即ρ22cos2θ+4sin2θ=24，即ρ2cos2θ+2sin2θ=12，所以x2+2y2=12.即曲线C的直

6、角坐标方程为x212+y26=1；(2)直线l的参数方程为 x=1+22t,y=-1+22t,( t为参数），代入x2+2y2=12得(1+22t)2+2(-1+22t)2=12，即32t2-2t-9=0．由题意设，M，N对应的参数分别为t1,t2，则t1+t2=223，t1t2=-6.所以

7、PM

8、⋅

9、PN

10、=

11、t1t2

12、=6. 2.（2019-2020·山西·高考模拟）在直角坐标系xOy中，直线l过原点且倾斜角为π4，曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα（α为参数），曲线C2的参数方程为x=

13、1+5cosβ,y=2+5sinβ（β为参数）.(1)求直线l的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；(2)若直线l与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M，N，求

14、MN

15、．【答案】解：(1)直线l的极坐标方程为θ=π4ρ∈R，曲线C1的普通方程为x23+y2=1，曲线C2的普通方程为x-12+y-22=5．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2=31+2sin2θ，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ，所以

16、ON

17、=2cosπ4+4sinπ4=32，

18、OM

19、=31+2sin2π4=62，可

20、得

21、MN

22、=

23、ON

24、-

25、OM

26、=62-62． 3.（2019-2020·福建·高考模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的普通方程为x-12+y2=1，曲线C2的参数方程为x=3cosθ,y=2sinθ,（θ为参数）．(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；(2)设射线θ=π6ρ>0分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求

27、AB

28、的值．【答案】解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ-2cosθ=0，C2的极坐标方程为2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6=0；(2

29、)令θ=π6ρ>0，则Aρ1,π6,Bρ2,π6.则2ρ22cos2π6+3ρ22sin2π6-6=0，即9ρ22=24，所以

30、OB

31、=ρ2=263，

32、OA

33、=ρ1=2cosπ6=3，故

34、AB

35、=

36、OA

37、-

38、OB

39、=3-263. 4.（2018-2019·河南·高考模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+2t,y=-2+t,(t是参数),以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=41+3sin2θ.1求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；2设曲线C

40、2经过伸缩变换x'=2x,y'=y,得到曲线C3,M(x,y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值.【答案】解：1∵x=1+2t,y=-2+t,消参可得曲线C1的普通方程为：x-2y-5=0,∵ ρ2=41+3sin2θ,∴ ρ2+3ρ2sin2θ=4,∴x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入可得：x2+4y2=4.故曲线C2的直角坐标方程为：x24+y2=1.2曲线C:x24+y2=1,经过伸缩变换x'=2x,y'=y,得到曲线C3的方程为：x'216+y'2=1.∴曲线C3的方程为：x2

41、16+y2=1.设M(4cosα,sinα),根据点到直线的距离公式可得d=

42、4cosα-2sinα-5

43、12+22=

44、2sinα-4cosα+5

45、5=

46、25sin(α-φ)+5

47、5≤

48、25+5

49、5=2+5,(其中tanφ=2).∴点M到曲线C2的距离的最大值为2+5. 5.（2018-2019·云南·高考模拟）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1-22ty=3+22t.（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=3cos2θ+3sin2θ.(1)写

50、出C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求

51、PQ

52、的最小值及此时点Q的直角坐标.【答案】解：(1)由{x=1-22ty=3+22t.（t为参数），消去t得C1:x+y-4=0,由ρ2=3cos2θ+3sin2θ，得ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，由ρcosθ=x, ρsinθ=y代入方程，得C2:x23+y2=1.(2)设C2的参数方程为{x=3cosαy=sinα.（α为参数），α∈[