一道苏联赛题推广命题的别证.doc

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1、14一道苏联赛题推广命题的别证陕西省小学教师培训中心王凯1988年苏联中学生数学竞赛有这样一道题：“当x=1、0、1、2时，多项式p（x)=+取整数值.求证：对任意整数x，p(x）均取整数值。”文［1]、[2]对上述赛题的推广命题：“当x取连续n+1个整数值时，多项式（x）=都取整数值。则对任一整数x，（x)均取整数值.”(这样的多项式称为整值多项式)进行了证明。本文意在给出这个推广命题的一个别证。证明：设当x取n+1个相邻整数、+1、+2、…、+n（∈Z)时，、、、…、都是整数.因n+1阶范得蒙行列式（k∈Z）D=≠0，用

2、表示D中第n+1行第j列元素的余子式,那么。从而有，依次给第(=1、2、3、…、n)行元素乘以，全部加到第n+1行的对应元素上去,得，按第n+1行展开得=。故有在中令，则知是整数。在递推式(k∈Z）中依次取、、…、（t∈Z)，则依次可以递推出、、…、(t∈Z)都是整数.但（t∈Z)取遍了所有的整数,故知(x）是整值多项式.证毕.笔者以为上述证明比文［1］、[2]简洁明了.利用还可以证明：命题1若(x)是一元n次多项式，以n+1个相邻整数代入多项式中的x,（x)的值都能被整数m整除,则对任意整数x，(x）也能被m整除。命题2对

3、于一元n次多项式,，在诸（j=1、2、3、…、n+1)中至少有一个不小于.读者不妨一试.参考文献[1]刘卓雄，对一道苏联竞赛题的深思，《福建中学数学》，1990年第1期.[2］李长明，猜想、化归和构造，《福建中学数学》，1990年第4期.本文发表于《福建中学数学》1991年第1期。