数值分析学习课件.ppt

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1、第二讲§1.最佳一致逼近最佳一致逼近/*uniformapproximation*/在意义下，使得最小。也称为minimaxproblem。偏差/*deviation*/若，则称x0为偏差点。Didn’tyousayit’saverydifficultproblem?Takeiteasy.It’snotsodifficultifweconsiderpolynomialsonly.§1.最佳一致逼近v1.0最佳一致逼近多项式/*optimaluniformapproximatingpolynomial*/的构

2、造：求n阶多项式Pn(x)使得

3、

4、Pny

5、

6、最小。直接构造OUAP的确比较困难，不妨换个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论：OUAP存在，且必同时有偏差点。证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。设而对于所有的x[a,b]都有是n阶多项式是误差更小的多项式§1.最佳一致逼近（Chebyshev定理）Pn是y的OUAPPn关于y在定义域上至少有n+2个交错的偏差点。即存在点集at1<…

7、ence*/若且y不是n次多项式，则n次OUAP唯一。证明：反证，设有2个OUAP’s，分别是Pn和Qn。则它们的平均函数也是一个OUAP。2)()()(xQxPxRnnn+=对于Rn有Chebyshev交错组{t1,…,tn+2}使得nkknkknkknnEtytQtytPtytRE-+--=

8、)()(

9、21

10、)()(

11、21

12、)()(

13、nkknkknEtytQtytP=-=-

14、)()(

15、

16、)()(

17、则至少在一个点上必须有)()()()(knkkkntQtytytP-=-0)()(=-kkntytR

18、0=nE由Chebyshev定理可推出：Pn(x)y(x)在定义域上至少变号次，故至少有个根。xy0yyx=()yyxEn=+()yyxEn=-()yPxn=()n+1n+1可见Pn(x)是y(x)的某一个插值多项式如何确定插值节点{x0,…,xn}的位置，使得Pn(x)刚好是y的OUAP？即，使插值余项v2.0达到极小？v2.1在[1,1]上求{x1,…,xn}使得的

19、

20、wn

21、

22、最小。=-=niinxxxw1)()(注意到，要使

23、

24、wn

25、

26、最小就意味着)()(1xPxxwnnn--=v3.0在[

27、1,1]上求函数xn的n1阶OUAP。由Chebyshev定理可推出：Pn1(x)关于xn有n+1个偏差点，即wn(x)在n+1个点上交错取极大、极小值。v3.1在[1,1]上求切比雪夫交错组{t1,…,tn+1}。切比雪夫多项式/*Chebyshevpolynomials*/考虑三角函数cos(n)在[0,]上的个极值点。n+1当时，cos(n)交错达到极大值1和极小值1，且存在系数a0,…,an使得令x=cos()，则x[1,1]。)cosarccos()cos()(xn·nxTn

28、==q称为Chebyshev多项式Tn的重要性质：当时，交错取到极大值1和极小值1，即1当时，即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点。Tn(x)满足递推关系：T0(x)=1，T1(x)=x，Tn(x)为n次多项式，首项系数为。且T2n(x)只含x的次幂，T2n+1(x)只含x的次幂。2n1偶奇{T0(x),T1(x),…}是[1,1]上关于权正交的函数族。即在内积的意义下有v3.1在[1,1]上求切比雪夫交错组{t1,…,tn+1}。v3.0在[1,1]上求函数xn的n1阶OUAP。T

29、n(x)的n个零点。可见：若取，则wn在[1,1]上有n+1个极值点{tk}，也即Pn1(x)=xnwn(x)关于xn在[1,1]上有n+1个交错偏差点{tk}。v3.0OKv2.1在[1,1]上求{x1,…,xn}使得的

30、

31、wn

32、

33、最小。=-=niinxxxw1)()(取最小值n={首项系数为1的n阶多项式/*monicpolynomialsofdegreen*/}{x1,…,xn}即为如何确定插值节点{x0,…,xn}的位置，使得Pn(x)刚好是y的OUAP？即，使插值余项达到极小？v2

34、.0取{x0,…,xn}为Tn+1(x)的n+1个零点，做y的插值多项式Pn(x)，则插值余项的上界可达极小。注：上界最小不表示

35、Rn(x)

36、最小，故Pn(x)严格意义上只是y(x)的近似最佳逼近多项式；对于一般区间x[a,b]，可作变量替换，则t[1,1]，这时即以为插值节点(k=0,…,n)，得Pn(x)，余项有最小上界。例：求f(x)=ex在[0,1]上的近似最佳逼近