7、ence*/若且y不是n次多项式,则n次OUAP唯一。证明:反证,设有2个OUAP’s,分别是Pn和Qn。则它们的平均函数也是一个OUAP。2)()()(xQxPxRnnn+=对于Rn有Chebyshev交错组{t1,…,tn+2}使得nkknkknkknnEtytQtytPtytRE-+--=
8、)()(
9、21
10、)()(
11、21
12、)()(
13、nkknkknEtytQtytP=-=-
14、)()(
15、
16、)()(
17、则至少在一个点上必须有)()()()(knkkkntQtytytP-=-0)()(=-kkntytR
18、0=nE由Chebyshev定理可推出:Pn(x)y(x)在定义域上至少变号次,故至少有个根。xy0yyx=()yyxEn=+()yyxEn=-()yPxn=()n+1n+1可见Pn(x)是y(x)的某一个插值多项式如何确定插值节点{x0,…,xn}的位置,使得Pn(x)刚好是y的OUAP?即,使插值余项v2.0达到极小?v2.1在[1,1]上求{x1,…,xn}使得的
19、
20、wn
21、
22、最小。=-=niinxxxw1)()(注意到,要使
23、
24、wn
25、
26、最小就意味着)()(1xPxxwnnn--=v3.0在[
27、1,1]上求函数xn的n1阶OUAP。由Chebyshev定理可推出:Pn1(x)关于xn有n+1个偏差点,即wn(x)在n+1个点上交错取极大、极小值。v3.1在[1,1]上求切比雪夫交错组{t1,…,tn+1}。切比雪夫多项式/*Chebyshevpolynomials*/考虑三角函数cos(n)在[0,]上的个极值点。n+1当时,cos(n)交错达到极大值1和极小值1,且存在系数a0,…,an使得令x=cos(),则x[1,1]。)cosarccos()cos()(xn·nxTn
28、==q称为Chebyshev多项式Tn的重要性质:当时,交错取到极大值1和极小值1,即1当时,即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点。Tn(x)满足递推关系:T0(x)=1,T1(x)=x,Tn(x)为n次多项式,首项系数为。且T2n(x)只含x的次幂,T2n+1(x)只含x的次幂。2n1偶奇{T0(x),T1(x),…}是[1,1]上关于权正交的函数族。即在内积的意义下有v3.1在[1,1]上求切比雪夫交错组{t1,…,tn+1}。v3.0在[1,1]上求函数xn的n1阶OUAP。T
29、n(x)的n个零点。可见:若取,则wn在[1,1]上有n+1个极值点{tk},也即Pn1(x)=xnwn(x)关于xn在[1,1]上有n+1个交错偏差点{tk}。v3.0OKv2.1在[1,1]上求{x1,…,xn}使得的
30、
31、wn
32、
33、最小。=-=niinxxxw1)()(取最小值n={首项系数为1的n阶多项式/*monicpolynomialsofdegreen*/}{x1,…,xn}即为如何确定插值节点{x0,…,xn}的位置,使得Pn(x)刚好是y的OUAP?即,使插值余项达到极小?v2
34、.0取{x0,…,xn}为Tn+1(x)的n+1个零点,做y的插值多项式Pn(x),则插值余项的上界可达极小。注:上界最小不表示
35、Rn(x)
36、最小,故Pn(x)严格意义上只是y(x)的近似最佳逼近多项式;对于一般区间x[a,b],可作变量替换,则t[1,1],这时即以为插值节点(k=0,…,n),得Pn(x),余项有最小上界。例:求f(x)=ex在[0,1]上的近似最佳逼近