matlab与数值分析课件：数值分析-（4）.ppt

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1、第4章数值积分(教材第五章)近似计算思路利用插值多项式则积分易算。问题的提出：9/9/20211电子工程学院在[a,b]上取ax0

2、：9/9/20215电子工程学院Simpson公式9/9/20216电子工程学院定义若某个求积公式所对应的误差R[f]满足：R[Pk]=0对任意kn阶的多项式成立，且R[Pn+1]0对某个n+1阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为n。代数精度：9/9/20217电子工程学院怎样验证代数精度：9/9/20218电子工程学院注：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）9/9/20219电子工程学院思考：代数精度是否是越高越好？9/9/202110电子工程学院梯形公式的误差9/9/202111电子工程学院

3、定理证明9/9/202112电子工程学院辛普森(Simpson)求积公式的误差：9/9/202113电子工程学院思考：结论是什么？怎么办？9/9/202114电子工程学院复合求积：高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的复合求积公式。复合梯形公式：在每个上用梯形公式：9/9/202115电子工程学院=Tn/*中值定理*/怎么办？9/9/202116电子工程学院44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有复合Simpson公式：9/9/202117电子工程学院复化求积例：

4、9/9/202118电子工程学院复化求积例：两种方法谁好？9/9/202119电子工程学院给定精度，如何取n?通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k68k=7注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。9/9/202120电子工程学院§4.2高斯型积分构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn以及系数A0…An都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。9/9/202121电子工程

5、学院例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量,可以列出4个方程：（在[-1,1]为例）可解出：数值积分公式具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高9/9/202122电子工程学院推广：加权Gauss积分公式权函数9/9/202123电子工程学院例：求的2点Gauss公式。解：设，应有3次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。9/9/202124电子工程学院x0…xn为Gauss点与任意次数不大于n的多项式P(x)（带

6、权）正交。定理求Gauss点求w(x)9/9/202125电子工程学院证明：“”x0…xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0“”要证明x0…xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：设09/9/202126电子工程学院正交多项式族{0,1,…,n,…}有性质：任意次数不大于n的多项式P(x)必与n+1正交。若取w(x)为其中的n+1，则

7、n+1的根就是Gauss点。9/9/202127电子工程学院再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：9/9/202128电子工程学院Step2：求2=0的2个根，即为Gauss点x0，x1Step3：代入f(x

8、)=1,x以求解A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：利用此公式计算的值9/9/202129电子工程学院Matlab积分函数函数名功能quad采用Simpson计算积分。精度高，较常用quad8采用8样条Newton-Cotes公式计算积分。精度高，最常用trapz采用梯形法