《数值分析》PPT课件(I)

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1、一、梯形法的递推化前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长h，如何给出？h太小则计算量增加h太大则精度不满足采用变步长的计算方案1.定义：变步长求积法变步长求积法就是在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止。下面讨论变步长的梯形法的计算规律。2.变步长的梯形法设将区间[a,b]分为n等份，共有n+1个分点其步长，在每个小区间[xk，xk+1]上用梯形公式计算为如果再二分一次，则步长减半，即h/2，分点增

2、至2n+1个，记区间[xk，xk+1]上经过二分后新增分点为用复化梯形公式求得该区间上的积分值为故在整个区间上的积分值为即只需计算新增分点的函数值这里的h是二分前的步长举例计算积分值详见书上本节例5，计算时要注意公式中步长的含义。请回答：本例最后结果二分多少次？共有多少个分点？答：二分10次，共有210+1=1025个分点，将区间平分为210=1024份。变步长梯形法的优缺点：优点算法简单，便于编程缺点精度较差，收敛速度缓慢龙贝格公式二、龙贝格（Romberg）公式复化梯形法的误差公式为：即积分

3、值Tn的截断误差大致与h2成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的1/4，有整理得即事实上，当n=1时那么其实质究竟是什么呢？这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n组合成就是辛甫生公式Sn。即再考察复化辛甫生公式复化辛甫生公式的误差公式：即积分值Sn的截断误差大致与h4成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的1/16，有整理得可以验证这样的组合就是柯特斯公式这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值Sn与S2n组合成柯特斯公式Cn。即重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差

4、阶为h6，可进一步导出下列龙贝格公式：综合上面的加工过程，有实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较高的公式对梯形公式加工：对辛甫生公式加工：对柯特斯公式加工：龙贝格公式三步：能否对龙贝格公式再加工取得较高精度的公式？现在的问题是：李查逊（Richardson）外推加速法三、李查逊外推加速法定理设，则成立式中系数与h无关李查逊外推加速法基于如下原理李查逊外推加速法的处理过程：由那么×4减则得这里的均与h无关与龙贝格公式的构造相比，这里的就是辛甫生公式。又根据有若则又可以进一步消去展开式中的h4项

5、，而有这样构造出的{T2(h)}，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值I的逼近阶为六阶。如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，这就是李查逊外推加速法。若记T0(h)=T(h)，则Richardson加速法可表示为作业：习题13