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1、Matlab基础第四讲数值积分问题背景数值积分定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。本节主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍Matlab计算定积分的相关函数。矩形法定积分的定义：实验二、定积分的近似计算矩形法n充分大，△x充分小定积分的近似：通常我们取左点法右点法中点法点可以任意选取，常见
2、的取法有： 左端点，右端点和中点。步长节点右点法：中点法：左点法：左点法、右点法和中点法解：矩形法举例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取n=100)，并比较这三种方法的相对误差。左点法：右点法：中点法：(i=0,1,2,...,100)理论值：左点法相对误差：误差分析矩形法举例右点法相对误差：中点法相对误差：不同的方法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法?定积分几何意义曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似整个曲边梯
3、形的面积：梯形法如果我们n等分区间[a,b]，即令：则==>梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别?解：==>例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)相对误差：2n等分区间[a,b]，得该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？计算每个节点上的函数值：抛物线法在区间[x0,x2]上，用过以下三点的抛物线来近似原函数f(x)。设过以上三点的抛物线方程为：则在区间[x0
4、,x2]上，有怎麽来的？y=x2+x+=p1(x)抛物线法同理可得：相加即得：抛物线法整理后可得：或辛普森(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法==>例：用抛物线法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)相对误差：抛物线法梯形法：trapztrapz(x,y)x为分割点（节点）组成的向量，y为被积函数在节点上的函数值组成的向量。Matlab近似计算定积分的相关函数Matlab计算定积分函数介绍前面的做法例：用梯形法计算下面定积
5、分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)>>x=0:1/100:1;>>y=1./(1+x.^2);>>trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.^2))trapz举例quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，tol为计算精度将自变量看成是向量抛物线法：quad不用自己分割积分区间可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函数运行的时间越长此处的函数f是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：
6、.*，./，.，.^注：抛物线法解：>>quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)>>quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)函数表达式一定要用单引号括起来！涉及的运算一定要用数组运算！例：用quad计算定积分：quad举例抛物线法计算二重积分：dblquadabcd的意思怎麽了？dblquad(f,a,b,c,d,tol)tol为计算精度，若不指定，则缺省精度为10-6f(x,y)可以由inline定义，或通过一个函数
7、句柄传递[a,b]是第一积分变量的积分区间，[c,d]是第二积分变量的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面二重积分的计算>>f=inline('4*x*y+3*y^2');>>I=dblquad(f,-1,1,0,2)f(x,y)中关于第一自变量的运算是数组运算， 即把x看成是向量，y看成是标量。也可以全部采用数组运算例2：计算二重积分>>dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)
8、X例1：计算二重积分dblquad举例例：计算二重积分>>dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y分别是第一和第二积分变量>>dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被积函数f(x,y)的另一种定义方法：匿名函数>>dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令运行结果和上面的一样吗
