《数值积分》PPT课件(I)

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1、/*NumericalIntegration*/近似计算§1Newton-Cotes公式思路利用插值多项式则积分易算。在[a,b]上取ax0

2、a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1代数精度考察其代数精度。例如，有积分公式:求该积分公式的代数精确度。对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。解：取f(x)=1，取f(x)=x，取f(x)=x2，==§1Newton-CotesFormulae注：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

3、和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。§1Newton-CotesFormulaen=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代数精度=1n=2:Simpson’sRule代数精度=3n=3:Simpson’s3/8-Rule,代数精度=3,n=4:CotesRule,代数精度=5,n为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。Ck(n)nCk(n)11/21/221/62/31/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/14

4、425/14425/9619/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/84077511728035771728013231728029891728029891728013231728035771728075117280898928350588828350-928283501049628350-4540283501049628350-9282835058882835098928350/*CompositeQuadrature*/高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。复

5、合梯形公式：在每个上用梯形公式：=Tn/*中值定理*/§2复合求积§2CompositeQuadrature复化Simpson公式：44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有xif(xi)011/80.9973978671/40.9896158373/80.9767267441/20.9588510775/80.9361556373/40.908851687/80.87719257410.841470985xi01/81/43/81/25/83/47/81f(xi)10.9973978………………………0.8414709精确

6、解：0.9460831§2CompositeQuadrature收敛速度与误差估计：定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同§2CompositeQuadratureQ:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？?上例中若要求，则即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k409k=9时，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。梯形法的递推化将积分区间[

7、a,b]n等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,…,nTn表示用复化梯形法求得的积分值考察小区间[xk,xk+1]，记该区间的中点为xk+1/2=(xk+xk+1)/2该小区间二分前后的两个积分值分别记为Tkl和Tk2，则：得：则:这一公式是递推形式的，式中h=(b-a)/n表示二分前的步长。(变步长法)KnTn010.920735492120.939793285240.944513522380.9456908644160.9459850305320.9460585616640.94607694371280.94608153982560.9

8、4608268795120.94608