《数值分析》PPT课件

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1、数值分析李庆扬王能超易大义编清华大学出版社施普林格出版社（第4版）1第1章绪论1.1数值分析研究对象与特点2数值分析也称为计算方法，是计算数学的一个主要部分.数值分析的定义：数值分析的主要内容：数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等.计算数学是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.1.1数值分析研究对象与特点3数值分析既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特数值分析不是各种数值方法的简单罗列和堆积，是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程.虽然

2、数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.点，又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.4三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.数值分析的特点：一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的有效算法.二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析.5四、要有数

3、值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.61.2数值计算的误差1.2.1误差来源与分类用计算机解决科学计算问题的过程如下：首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的.数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差.实际问题数学模型7以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.实际问题数学模型在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等等，这些量显然也包含误差.这种由观测产生的误差称为观测误差.数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.当数学模型不能得到精确解时，

4、通常要用数值方法求它的近似解.8近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.实际问题数学模型上机计算求出结果数值计算方法9例如，用泰勒(Taylor)多项式近似代替函数，则数值方法的截断误差是有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差.10产生的误差用近似代替，就是舍入误差.此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响.计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.例如，分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题.11

5、这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论.12若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即1.2.2误差与有效数字设为准确值，为的一个近似值，误差可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强近似值；通常准确值是未知的，因此误差也未知.为近似值的绝对误差，定义1称简称误差.当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值.13则叫做近似值的误差限，它总是正数.例如，用毫米刻度的米尺测量一长度，读出和该长度接近的刻度，是的近似值，它的误差限是，于是如读出的长度为，则有.虽然从这个不等式不能知道准确的是多少，但可知14结果说明在区间内.对于一般

6、情形，即也可以表示为但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.15例如，有两个量，则虽然比大4倍，但比要小得多，这说明近似的程度比近似的程度好.所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值本身的大小.16实际计算中，由于真值总是未知的，把近似值的误差与准确值的比值称为近似值的相对误差，记作.作为的相对误差，条件是较小，通常取此时利用知17相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，是的平方项级，记作，故可忽略不计.即18上例中与的相对误差限分别为可见近似的程度比近似的程度好.根据定义，19当准确值位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到的前几位近似值，取

7、3位取5位它们的误差都不超过末位数字的半个单位，例如即20若近似值的误差限是某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，就说有位有效数字.表示为（2.1）其中是0到9中的一个数字，为整数，（2.2）定义2且21如取作为的近似值，取，按这个定义，就有3位有效数字，就有5位有效数字.22按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的按定义，187.93,0.037856,8.0000,2.7183.的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，例1近似数：187.9325,0.03785551,8.000033,2.7182818.上述各数具有5位有效数字的近似数分

8、别是因为8