专题20-分类讨论的思想方法.ppt

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1、分类讨论的思想方法在解决问题的过程中，我们常会遇到“一言难尽”的情况，问题中一些不确定的因素，使得我们难以用一个“统一”的方法去解决．这时我们把其划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定性不再影响问题的解决，每一个局部问题解决了，整个问题也就迎刃而解了，这就是分类讨论法．分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重．一般说来,有关分类讨论的试题，

2、相对难度较大,加之考生的惧怕心理以及分类意识的缺乏与淡化、分类的盲目与随意，因而往往得分较低，故研究并掌握分类讨论思想方法，便有着非同寻常的意义．1．分类原则：①施行分类的集合的全集必须是确定的；②每一次分类的标准必须是统一的；③分类必须是完整的，不出现遗漏；④各子集必须是互斥的，不出现重复；⑤实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级．2．分类方法：①明确讨论对象，确定对象的全体；②确定分类标准，正确进行分类；③逐步进行讨论，获取阶段性结果；④归纳小结，综合得出结论．3．分类策略:化整为零各个击破,

3、积零为整全歼问题．4．解题一般步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结．5．解题时严把“四关”：①基础关——深刻理解基本知识与基本原理；②分类关——找准划分标准；③逻辑关——分类条理分明，层次清晰；④检验关——注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍．1．根据有关定义与概念进行分类讨论有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率、二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线等．一、分类讨论的动因进行分类讨

4、论的关键是明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确地、恰当地进行讨论．分析：显然这是由三角函数值符号的变化而引起的分类讨论．这里应对角x的终边所在的象限分别在一、二、三、四象限四种情形进行讨论．解析：当角x的终边所在的象限分别在一、二、三、四象限时，可得y的值分别为3、-1、-1、-1，于是所求函数的值域为{3，-1}．例2.已知圆x2+y2=4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．分析：容易想到，设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)

5、，再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定得出k值，从而得到所求直线方程，但要注意到，过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此，本题需要对过点P的直线分两种情形讨论求解．2．按某些运算的要求进行分类讨论有些运算有一定的要求限制，如除法要求除式不为0；解不等式时要看两边是同乘一个正数还是负数；对数运算中要求真数为正数等．所有这些都是进行运算时须进行讨论的动因．例3.在xOy平面上给定曲线y2=2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A

6、的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式．分析：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论．注：本题解题的基本思路是先建立目标函数．求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到函数f(a)的表达式．3．根据某些定理或公式的限制条件而引起的分类讨论有些数学定理或公式，其结论本身就是按分类讨论来进行表达的，如等比数列前n项和公式就是按q=1

7、或来表述的；一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的．4．根据函数的某些性质进行分类讨论有些问题涉及函数的单调性、值域等，因此在解题时，常常要讨论参数的不同取值的情况．例5：飞机俯冲航线和山顶在同一铅直平面内，且与水平线成角．自山顶左上方的A处向山顶右下方俯冲．已知飞机在A处(位于山顶左上方)海拔为akm，测得山顶俯角为(>)，现保持航向不变，飞行bkm到达B点，测得山顶俯角为γ，求山顶海拔高度h.分析：先作出示意图如图所示，在图中标出各已知量，然后分情况利用正弦定理求解△ABC(△AB1C与△

8、AB2C)，求出AC，从而范围所求高度h=DE=a-DF=a-ACsin.二、简化分类的策略由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述繁琐，且极易在完备性上造成失误，因此它并非一定是解决问题的良策．我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证统一的关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．1．改变一个观察视角2．调换一下解题方法分析：这里有绝对值，有参数a，有变量x，怎么办？去绝对值！怎么去？