分类讨论思想方法

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1、二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如

2、a

3、的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和

4、运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时,我们的基本方

5、法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。Ⅰ、再现性题组:1.集合A={x

6、

7、x

8、≤4,x∈R},B={x

9、

10、x-3

11、≤a,x∈R},若AB,那么a的范围是_____。A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.00且a≠1,p=log(a+a+1),q=log(a+a+1),则p、q的大小关系是_____。A.p=qB.pqD.当a>1时,p>q;当0

12、,p0、a=0、a<0三种情况讨论,选

13、B;2小题:对底数a分a>1、00、x<0两种情况,选B;6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况,选D;7小题:分截距等于零、不等于零两种情况,选C。Ⅱ、示范性题组:例1.设00且a≠1,比较

14、log(1-x)

15、与

16、log(1+x)

17、的大小。【分析】比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数a有关,所以对底数a分两类情况进行讨论。【解】∵0

18、x>1①当00,log(1+x)<0,所以

19、log(1-x)

20、-

21、log(1+x)

22、=log(1-x)-[-log(1+x)]=log(1-x)>0;②当a>1时,log(1-x)<0,log(1+x)>0,所以

23、log(1-x)

24、-

25、log(1+x)

26、=-log(1-x)-log(1+x)=-log(1-x)>0;由①、②可知,

27、log(1-x)

28、>

29、log(1+x)

30、。【注】本题要求对对数函数y=logx的单调性的两种情况十分熟悉,即当a>1时其是增函数,当0

31、值的符号判断,也用到函数的单调性。例2.已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①.CA∪B且C中含有3个元素;②.C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念,C中的元素分两类:①属于A元素;②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】C·C+C·C+C·C=1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题,正确地解题的前提是合理科学的分类,达到分类完整及每类互斥的要求,还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”,即C-C=1084。例

32、3.设{a}是由正数组成

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