分类讨论思想方法

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1、二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如

2、a

3、的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和

4、运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方

5、法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x

6、

7、x

8、≤4,x∈R}，B＝{x

9、

10、x－3

11、≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.00且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。A.p＝qB.pqD.当a>1时，p>q；当0

12、，p0、a＝0、a<0三种情况讨论，选

13、B；2小题：对底数a分a>1、00、x<0两种情况，选B；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。Ⅱ、示范性题组：例1.设00且a≠1，比较

14、log(1－x)

15、与

16、log(1＋x)

17、的大小。【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。【解】∵0

18、x>1①当00，log(1＋x)<0，所以

19、log(1－x)

20、－

21、log(1＋x)

22、＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;②当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以

23、log(1－x)

24、－

25、log(1＋x)

26、＝－log(1－x)－log(1＋x)＝－log(1－x)>0；由①、②可知，

27、log(1－x)

28、>

29、log(1＋x)

30、。【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0

31、值的符号判断，也用到函数的单调性。例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①.CA∪B且C中含有3个元素；②.C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】C·C＋C·C＋C·C＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C－C＝1084。例

32、3.设{a}是由正数组成