分类讨论思想方法

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1、分类讨论思想方法高考专题辅导分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。一、在什么情况下要进行分类讨论1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”，因

2、而也要进行分类讨论。3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况分别进行讨论。4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答。5．树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确与完整。二、分类讨论的步骤、原则和方法1．分类讨论的一般步骤是：→明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段

3、性结果→归纳小结，综合得出结论。2．逻辑划分应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。4．分类讨论后如何归纳结论。（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用统一式。（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用分列式。三、灵活运用逻辑划分的思想方法1．通过“补集”间接求解。2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。Ⅰ、再现性题组：2

4、．若a>0且a≠1，p＝，q＝，则p、q的大小关系是_________。A.p＝q；B.pq；D.当a>1时，p>q；当0

5、

6、x

7、≤4,x∈R}，B＝{x

8、

9、x－3

10、≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_________。A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0

11、是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_________。A.；B.；C.；D.或。4．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_________。A.3x－2y＝0；B.x＋y－5＝0；C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0；D.不能确定。CBDⅡ、示范性题组：例1.设00且a≠1，比较

12、

13、与

14、

15、的大小。【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。【解】∵01当0

16、

17、－

18、

19、＝－>0;当a>1时，

20、

21、－

22、

23、＝……由①、②可知，例2.已知集合A

24、和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①C(A∪B)且C中含有3个元素；②C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】·＋·＋·＝1084【另解】（排除法）：例3.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行

25、分类讨论。（也属数形结合法）【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）2＋2－或∴或∴a≥1或；当a<0时，，解得φ；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a>。例3.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。例4.解不等式>0(a为常数，a≠－)【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－

26、1>0时，a>－；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，>0，解得：x≠0；当－0，解得:x<6a或x>－4a；当a<－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a