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1、四、分类讨论的思想方法［概述］:分类讨论在数学中既是一个重耍的策略思想,乂是一个重耍的数学方法,很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多,很难用统一方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件,成立条件进行分类;如等比数列前斤项和公式，要依据公比g=l和qHl得到两个不同的农达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所
2、成的角；3）由变形所需条件的限制引起的讨论；如方程ax+b=0的解的惜况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如到平面Q的距离分别为a,b,c,求ABC重心到平面&的距离；5）对于含冇参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如玄线方程的点斜式和截距式;6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题。2«分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象以及全域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类型：1）问题中的变虽:或参数不确定性，需耍分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一傲述，必须分类讨
3、论的；4）儿何问题中，儿何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。［例题分析］例1：设集合M={-1,0,1},“={2,3,4,5,6},映射—N,使对任何xeM,都有x+f{x）+xf{x）是奇数，这样的映射/冇多少个？变式：设函数广{1,2,3}—{1,2,3}，满足/（/（%））=/（%）,则这样的映射个数有:A：1个；B：4个；C：8个；D:10个。例2：设A=［xax-l=O},B={xx2-3x+2=0},若AqB，则g的值构成的集合是。例3：（对问题中变
4、量或参数进行分类讨论）函数y=在LO,1J±最大值与最小值之差为3,则a的值是多少？兀一a变式：解关于X的不等式：<0（6Z€R）x-a^变式：已知函数/（x）=lg（x2-2x+/n）,其中meR为常数，求这个函数的定义域。例4.（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前〃项的和Sn=32n-n2求数列{la」}的前料项的和打。例5.给出定点A（a,0）（d>0）,利直线l:x=-l9B是直线/±-动点，ZBOA的角平分线交AB于点C,求点c的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与a的关系。例6.设函数f（x）=ex-e~I）证明:f（x）的导数fx）>2.II）若对所有x>
5、0都Hf（x）>ax,求a的取值范围。I）（略）II)令g(x)=f(x)-ax，则g'(x)=fx)-a=ex+e~x1)若a<2，当兀>0时，g'(x)=f'(x)-a=ex+e~x-a>2-a>0,g（Q在（0,+oo）上为增函数，xno时，g（x）ng（o）=o,即/(x)>ax。a+Ja2—42）若a>2,方程g'（x）=0的正根为=ln,此时若兀丘（0皿），则gx）<0,故g（x）在该区间为减函数，因此gO）vg（0）=0,即f{x）6、1,当/?>
7、时，判断函数/（X）在定义域上的单调性；2,求函数/（兀）的极值点；fZ11113,证明对任意的正整数〃，不等式ln（l+-）>—一一都成立。n”n［分析］:/（兀）的定义域为（一1,+8）b2x2+2x+/?2(x+-)-+/?--ifx)=2x+——=-=L,当b>—时，fx)>0.结论成立。x+1x+1x+12讨论:当b>—时，无极值点；21"I》11当/?=一时，fx）==0有两个相等的解兀=一一，在一一左右两侧fx）符号相等，无极值。2x+122当be丄时，fx）=0有两个不同解2-l-Vl-2/?-1+V1-2/?；兀2=222•/b<0时，x,<-i
8、,x2>-1,即兀］纟(一l，+oo),兀2w(一1，+°°)，且/（x）,/x）随x的变化情况如下表:X(-1,兀2)兀2（兀2，+°°）广（尢）0+极小值随x的变化情况如卜•表:当0vbv—时，xl>x^x2w(—1,+oc),(-1,西)(兀1，兀2)兀2(兀2，+°°)厂⑴+0■0+fM极大值极小值纵上所述:b=-l时,f(x)=x2-ln(x+l),令h(x)=x3-f(x)9则22+1例&已知西数f(x)=(xeR),
