高三数学思想方法策略专题(2)——分类讨论

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1、高三数学思想、方法、策略专题一一分类讨论思想—・知识探究：分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对彖不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值I川的定义分3>0、4=0、M0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q=l和qHl两种情况。这种分类讨论题型可以

2、称为性质型。（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题屮含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax〉2时分8〉0、3=0和从0三种情况讨论。这称为含参型。（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。2.分类讨论是一种逻辑方法，在屮学数学屮有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同吋要有利于问题研究；3.分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级

3、进行，不能越级；4.分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯•一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5.讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准,进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得出结论；6.简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有吋可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论

4、对象为变量的函数得便感形式解题吋可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有吋可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。二.命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，rtiS”求①等

5、。二.例题点评题型1：集合屮分类讨论问题例1.己知集合{a；a+匕一3},N={a—3,2a—1,aJ+l},若M0N={—3},则a的值()A.-1B・0C・1D.2解析：A；VMAN={-3},・•・一3丘N={a-3,2a-l,a+1},若a-3=-3,则a=0,此时M={0,l,—3},N={~3,-1,1},则MAN={-3,1},故不适合。若2a-l=-3,贝0a=-l,此时M={1,0,-3},N={-4,-3,2},若a2+l=-3,此方程无实数解。点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。例2.

6、(06全国II卷)设aeR,函数f{x)=ax2-2x-2a.若/(兀)>0的解集为A,B={x

7、1<^<3},AAB^^,求实数Q的取值范围。解析：由/(x)为二次函数知C/H0,令f(x)=0解得其两根为舛=+一』2+土,兀2=++』2+右由此可知0(i)当a>()时，/l={x

8、x

9、x>x2),AcB$(p的充要条件是x2<3,即十+』2++<3解得°舟(ii)当avO时，A={xx{1，即丄+、2+丄>1aVa解得QV-2;综上，使Ac3=0成立的a的取值范围为(-00,-2)o(y,

10、4-00)0点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。题型2：函数、方程中分类讨论问题例3.(1987年上海市第六(2)题)在xoy平面上给定曲线y2=2x。设点A坐标为(a,0),awR。求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出〃=/«)的函数表达式。分析:本题是求两点间距离的最小值问题，常规方法是建立两点间线段长的平方的函数,易知这是一个二次函数，因Z问题就转化成了求二次函数的最小值。但是由于所给曲线中变量X有取值范围的约束，因此，必须考虑顶点横坐标的范围，由此引

11、起了对参数