含绝对值符号的不等式的解法与证明.doc

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1、[本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明　　[重点难点]　　1．实数绝对值的定义:　　

2、a

3、=　　这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。　　2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。　　若a>0时，则　　

4、x

5、

6、x

7、>ax<-a或x>a。　　注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即

8、x

9、可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。　　3．常用的同解变形　　

10、f(x)

11、

12、f(x)

13、>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；　　

14、f(x)

15、<

16、g(x)

17、f2(x)

18、

19、

20、a

21、-

22、b

23、

24、≤

25、a±b

26、≤

27、a

28、+

29、b

30、。　　例题选讲:　　例1．解不等式

31、x2+4x-1

32、<4.............①　　解:①-4

33、x2-3

34、>2x...........①　　解:①x2-3<-2x或x2-3>2xx2+2x-3<0或x2-2x-3>0　　-33x<1或x>3。　　即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。　　例3．解不等式

35、

36、≤1..........

37、.①　　解:①　　(2)

38、2x+3

39、2≤

40、x-1

41、2(2x+3)2-(x-1)2≤0(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0　　(x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。　　(3)x≠1。　　∴原不等式的解集为[-4，-]。　　例4．解不等式

42、x+1

43、+

44、x-2

45、<5...........①　　分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。　　解:将不等式①化为三个不等式组　　（I）-2

46、2；　　（III）2

47、x+1

48、+

49、x-2

50、<1。　　解:∵

51、x+1

52、+

53、x-2

54、≥

55、(x+1)-(x-2)

56、=3，∴原不等式无解。　　说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。　　例6．已知:

57、a

58、<1,

59、b

60、<1。求证:

61、

62、<1.........①　　证法1：欲证①，只需证<1,　　只需证

63、a+b

64、<

65、1+ab

66、,只需证(a+b)2<(1+ab)2,只需证(a+b)2-(1+ab)2<0,　　只需证

67、(a2+b2-a2b2-1)<0,只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②　　∵

68、a

69、<1,

70、b

71、<1。∴a2<1,b2<1，即a2-1<0,b2-1<0。∴②式成立，　　∴原不等式成立。　　证法2：欲证①，只需证-1<<1,　　只需证（+1）（-1）<0,　　只需证·<0,　　只需证<0,　　只需证<0............③　　∵

72、a

73、<1,

74、b

75、<1,∴a2<1,b2<1，即a2-1<0,b2-1<0,　　又(1+ab)2>0,∴③式成立，　　∴原不等式成立。　　例7．求证:≤≤+。　　证法1:　　∵≤

76、a+b

77、(1+

78、a

79、+

80、b

81、)≤(

82、

83、a

84、+

85、b

86、)(1+

87、a+b

88、)　　

89、a+b

90、≤

91、a

92、+

93、b

94、。　　∵上式显然成立，∴≤成立。　　又=+≤+。　　∴原命题成立。　　证法2：这里只证明≤　　分析:观察两式结构均为的形式，又∵

95、a+b

96、≤

97、a

98、+

99、b

100、，而原不等式要成立，只需证明函数y=在[0，+∞）上单调递增即可。　　证明:设0≤x1≤x2,则-=，　　∵0≤x1≤x2,∴x2-x1≥0,1+x1>0,1+x2>0,∴≥0。　　∴-≥0,即≥,　　设x1=

101、a+b

102、,x2=

103、a

104、+

105、b

106、　　∵

107、a+b

108、≤

109、a

110、+

111、b

112、,　　∴≤。　　参考练习:　　1．解不等式

113、x2+3x-8

114、≤10。　　2．解不等

115、式

116、x+7

117、-

118、x-2

119、<3。　　3．解不等式

120、-3

121、>1。　　4．解不等式

122、log3x

123、+

124、log3(3-x)

125、≥1。　　5．求y=的值域。　　6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:

126、f(1)

127、<,

128、f(2)

129、<,

130、f(3)

131、<,不可能同时成立。　　7．已知

132、x

133、<,

134、y

135、<,

136、z

137、<,(ξ>0)。求证:

138、x+2y-3z

139、<ξ。　　参考答案:　　1.[-6,-2]∪[-1,3]；　　2.(-∞,-1)；　　3.[,2)∪(6,+∞)；　　4.提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2