含绝对值的不等式解法

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1、含绝对值的不等式解法一、学习要求：    1、掌握

2、x

3、＜a，

4、x

5、＞a型不等式解法。   2、能将含绝对值的不等式化归为

6、x

7、＜a，

8、x

9、＞a型的不等式。   3、掌握实数子集的简洁表示法──区间。二、例题：                                     第一阶梯例1、总结一下初中学过的不等式的基本性质。答案：   不等式的基本性质：      说明：   1、上面每条性质后面用括号注明性质的名称，其用意是帮助你加深理解和记忆。这些性质到了高中      二年级还要系统学习，如果在高一你就熟练地掌握了不等式的基本性

10、质，那么你的整个数学学习      将少犯错误。   2、上面使用了现代语言符号""、""，后面将在"充要条件"一节中学习它，现在""译成"推出"，      而"AB"表示"AB，且BA"，即""译成"等价"较早地熟练使用这些符号，将推进你的数学学习。例2、写出实数绝对值的定义。答案：   说明：   绝对值的定义是用分类法给出的，这种分类是以"0"划分的，所以叫做"零点划分"。利用绝对值的定   义可以脱去绝对值，同时"零点划分"是今后解决含绝对值的问题的一个基本分类方法。 例3、写出不等式

11、x

12、＜a，

13、x

14、＞a（a＞0）的同解定理，并把

15、解表示在数轴上。提示：   

16、x

17、的几何意义表示数轴上的点x到原点的距离，利用绝对值的几何意义，直接得到不等式的解。答案：   不等式

18、x

19、＜a，

20、x

21、＞a（a＞0）的同解定理是   （Ⅰ）

22、x

23、＜a－a＜x＜a；   （Ⅱ）

24、x

25、＞ax＜－a，或x＞a。说明：   1、同解定理（Ⅰ）和（Ⅱ）要利用绝对值的几何意义记熟。   2、应用同解定理（Ⅰ）和（Ⅱ）解

26、ax+b

27、＜c，

28、ax+b

29、＞c（c＞0）型不等式：     设ax+b=y，则这两个不等式化为           

30、y

31、＜c，

32、y

33、＞c     再应用同解定理可解。这个方法叫做换元

34、法。例4、试用集合的描述法给下列区间下定义：   [a,b]，(a,b)，[a,b]，(a,∞)，(－∞,+∞)答案：   说明：   区间是表示实数子集的简洁方法，而不等式的解集都是实数的子集，因此，我们提前学习区间。例如   不等式

35、x

36、＜a，

37、x

38、＞a（a＞0）的解集可用区间分别表示为   （－a，a），（－∞，－a）∪（a，+∞）   因为区间是集合，所以对于区间可使用子、交、并、补等符号。各学校都在讲函数时讲授区间，因此，   很多同学不敢用简洁的区间取代集合的大括号表示法。   [a,b]叫闭区间，（a,b）叫开区间；   [a,

39、b]，(a,b)叫半开半闭区间。   只要你记住含端点用"方括"，不含端点用"圆括"。                                      第二阶梯：例1、解不等式ax＞b 提示：   对a进行分类讨论，分情况给出解集。答案：   说明：   今后很多不等式都化归为不等式ax＞b，因此，遇到字母系数，不要忘记分类讨论。例2、如果a＞b＞0，那么下列各式中错误的不等式是（       ）   A、               B、ad＞bd   C、a－c＞b－c           D、c－a＜c－b提示：   利用不等

40、式性质答案：   例3、解不等式答案：   例4、等式1≤│2x-3│＜7答案：   说明：   1、解不等式的过程必须步步等价，因此求解过程的表述用"即"或"等价"的语言，本例的表述用了      ""，这是非常简明的，你应从此学会运用""。解不等式不可以用""（推出），这与"证明"      或解方程不同。   2、相连不等式a≤b＜c等价于不等式组，而不等价于a≤b，或b＜c。这一点在本例求解开始时      要特别注意。                                        第三阶梯：例1、解关于x的不等式：a

41、(x－1)＞x－1答案：   原不等式等价于       (a－1)x＞a－1   当a＞1时，则a－1＞0，解为x＞1；   当a＜1时，则a－1＜0，解为x＜1；   当a=1时，则a－1=0，0·x＞0无解。   综上，原不等式的解集：当a＞1时为（1，+∞）；当a＜1时为（－∞，1）；当a=1时为φ。说明：   含字母的不等式的讨论问题始终是不等式的难点。例2、解不等式│x+2│+│x-2│＞4   提示：   思路一：零点划分法。   思路二：数形结合法──利用绝对值的几何意义。答案：【解法一】│x+2│+│x-2│＞4   由

42、x

43、+2

44、=0得分点x1=－2，

45、x－2

46、=0得分点x2=2，于是分三种情况：      设－2，2在数轴上的对应点为A，B，如图：   不等式│x+2│+│x-2│＞