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《高数例题课件-第七章-微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章微分方程§7-1微分方程的基本概念一、微分方程凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫做常微分方程，未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程，微分方程有时也简称方程。二、微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。三、阶微分方程的一般形式，其中个变量的函数，并且必须出现，而等变量则可以不出现。例1．列车在平直路上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得加速度，问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？四、微分方程的解、通解、初始条件、特
2、解1、微分方程的解：设有微分方程,且函数在区间上有阶连续导数,如果在区间上，,那么函数就叫做微分方程在区间上的解。2、微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的的阶数相同（这里所说的任意常数是相互独立的，就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少），这样的解叫做微分方程的通解。3、微分方程的初始条件用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做微分方程的初始条件。4、微分方程的特解确定了通解中任意常数以后得到的解叫做微分方程的特解（满足初始条件的解）例2．验证函数是微分方程的通解,并求满足初始条件的特解。五、微分方程的
3、积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，通解代表一族曲线。§7-2可分离变量的微分方程一、定义：如果一个一阶微分方程能写成的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含的函数和,另一端只含的函数和,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。例1．求微分方程的通解。三、注意的问题(1)在求形如类积分时,按照积分基本公式应有,但如果整理后的正负号可含于任意常数C中,在求积分时,为了简化运算,常写成。例2．求微分方程2、通解不是微分方程的全部解。例3．解微分方程3、有些方程需经变量替换或变形后，再进行变量分离。例4．解微分方程例5．解微分方程
4、例6．解微分方程例7．放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t=0时铀的含量为，求在衰变过程中铀含量随时间t变化的规律。例8．设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。例9．解方程§7-3齐次方程一、定义：如果一阶微分方程可化成的形式，那么就称这方程为齐次方程。例1．解方程例2．探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面,它的形状由坐标面上的一条曲线绕轴
5、旋转而成,按聚光镜性能的要求,在其旋转轴(轴)上一点发出的一切光线,经它反射后都与旋转轴平行,求曲线的方程。例2．有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的方程。§7-4一阶线性微分方程一、线性方程（一）定义：方程叫做一阶线性微分方程(都是一次的)当时,称为齐次的一阶线性微分方程。当时,称方程为非齐次的一阶线性微分方程,并把称为与非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程。(二)解法1、常数变易法（求的解）(1)求与方程对应的齐次方程的通解。(2)将对应的齐次方程的通解中的常数C换成的未知函数，
6、,并把它们作为的解，求出.从而得通解因此得出结论:一阶非奇次线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.例1．求方程的通解。例2．解方程2、公式法：例3．设有微分方程,其中,试求在内的连续函数,使之在和内都满足所给方程,且满足条件。例4．设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。(三)注意的问题1、有时微分方程不能化成的形式，但可化成的形式，此时可把看作函数（因变量），按公式法求解。例5．解方程2、有些微分方程不是一阶微分方程,可以通过变量替换将其化成一阶微分方程。例6．解二、伯努利方程（一）定义：方程叫做伯努利方
7、程。(二)解法:通过变量代换,把它化成一阶线性微分方程1、两边同乘以2、令例6．求方程的通解。例7．解微分方程一、定义：形如的方程，如果它的左端恰好是某一函数的全微分那么该方程就叫做全微分方程。§7-5全微分方程二、全微分方程的判别设有方程函数在单连通城内具有一阶连续偏导数，则在G内方程（1）是全微分方程的充要条件是。例1．求解四、可化为全微分方程的微分方程的解法（一）积分因子：若，则方程不是全微分方程，但若存在函数使，即为全微分方程，则称为微分方程的积分因子。(三)积分因子的寻找必须熟记一些微分公式：例2．求微分方程的解。例3．解微分方程例4．设
8、函数在上连续，且满足方程求。例5．设于半空间内任意的光滑有向封闭曲面S，都有其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求。§7-
