高数A第七章 微分方程.ppt

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1、第七章微分方程微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.例一、微分方程的概念微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.(1)通解:微分方程的解中含有独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.二、一阶微分方程可化成形如：解法：分离变量法1.可分离变量的微分方程例1求解微分方程解分离变量两端积分例2求微分方程的满足初始条件的特解练习题练习题答案2.齐次方程解法：作变量代换代入原式可分离变量的方程形如：例1求解微分方程微分方程的解为解例2解方程解微分方程

2、的解为练习：解微分方程答案：标准形式:称为齐次的.称为非齐次的.3、线性微分方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为（1）线性齐次方程解法——常数变易法(使用分离变量法)（2）的解，则有为方程积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2如图所示，平行于y轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为练习：解微分方程答案：1、型方法：两边积分例1三、可降阶的微分方程特点：右端不显含因变量y解法：2、型则例2练习：求微分方程的解特点：右端不显含自变量x解法：3、型解

3、代入原方程得原方程通解为例3练习：求微分方程的解四、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:说明:例如2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理五、二阶常系数线性微分方程将其代入上方程,得故有特征方程特征根1.齐次线性微分方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应

4、的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)练习题练习题答案2.二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构设非齐次方程特解为代入原方程综上讨论解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1解对应齐次方程通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例2例3写出微分方程的特解形式单根小结：答案：