高数第七章 一阶线性微分方程ppt课件.ppt

《高数第七章 一阶线性微分方程ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一阶线性微分方程lineardifferentialequationoffirstorder非齐次non-homogeneous齐次线性方程homogeneouslinearequation非齐次线性方程non-homogeneouslinearequation常数变易法methodofvariationofconstant伯努利方程Bernoulliequation全微分方程totaldifferentialequation一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次

2、的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.性质1：性质2：性质3：性质4：性质5：齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)例2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得

3、解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束解代入原式分离变量法得所求通解为另解例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束解例例求方程例求方程这是线性方程吗？是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！[解]变形为：第一步:先求解齐次方程齐次方程通解是第二步:用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简积分得通解伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努

4、利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程。求出通解后，将代入即得代入上式例例.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:解例例用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程P3151;2;6;7;8作业练习题练习题答案(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1

5、705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.