高数同济74一阶线性微分方程

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1、第四节一阶线性微分方程一、线性微分方程二、伯努利方程三、小结1一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.2齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)3对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得4解法1:公式法例15解法二：常数变易法原方程所对应的齐次微分方程为：分离变量得故其通解为代入所给的非齐次方程，得例16两边积分得故所求非齐次微分方程的通解为7例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变

2、形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程8伯努利方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利(Bernoulli)方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.9求出通解后，将代入即得代入上式10解例3伯努利方程.11例4用适当的变量代换解微分方程:解所求通解为12解代入原式分离变量法得所求通解为另解13例求微分方程的通解.注意:y=y(x)x=x(y),F(y’,y,x)=0G(x’,x,y)=0,解14注意:y=y(x)x=x(y),F(y’,y,x)=0G(x’,x,y)=0,练习:15思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变

3、量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程16三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程作业:P282:1-(3)(7)(9),2-(2)(4),6,7-(3)17(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.18