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1、§4.3.2二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性方程1湘潭大学数学与计算科学学院1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式2湘潭大学数学与计算科学学院2、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根3湘潭大学数学与计算科学学院有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为4湘潭大学数学与计算科学学院有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为5湘潭大学数学与计算科学学院有一对共轭复根重新组合
2、得齐次方程的通解为特征根为6湘潭大学数学与计算科学学院二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)7湘潭大学数学与计算科学学院8湘潭大学数学与计算科学学院定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例19湘潭大学数学与计算科学学院解特征方程为解得故所求通解为例210湘潭大学数学与计算科学学院用表示对自变量求导的运算例如，用记号可表示为注意:是的多项式可进行相加和相乘的运算．11湘潭
3、大学数学与计算科学学院3、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项12湘潭大学数学与计算科学学院注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.13湘潭大学数学与计算科学学院特征根为故所求通解为解特征方程为例314湘潭大学数学与计算科学学院4、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)15湘潭大学数学与计算科学学院16湘潭大学数学与计算科学学院思考题求微分方程的通
4、解.P2924题17湘潭大学数学与计算科学学院思考题解答令则特征根通解18湘潭大学数学与计算科学学院练习题19湘潭大学数学与计算科学学院练习题答案20湘潭大学数学与计算科学学院二、二阶常系数非齐次线性方程21湘潭大学数学与计算科学学院二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.1、型22湘潭大学数学与计算科学学院设非齐方程特解为代入原方程23湘潭大学数学与计算科学学院综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.24湘潭大学数学与计算科学学院特别地25湘潭
5、大学数学与计算科学学院解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例126湘潭大学数学与计算科学学院第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束27湘潭大学数学与计算科学学院第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束28湘潭大学数学与计算科学学院第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:机动目录上页下页返回结束29湘潭大学数学与计算科学
6、学院第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程均为m次多项式.机动目录上页下页返回结束30湘潭大学数学与计算科学学院第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束31湘潭大学数学与计算科学学院小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束32湘潭大学数学与计算科学学院例1.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束33湘
7、潭大学数学与计算科学学院解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例234湘潭大学数学与计算科学学院解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例335湘潭大学数学与计算科学学院所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意36湘潭大学数学与计算科学学院3、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.37湘潭大学数学与计算科学学院思考题写出微分方程的待定特解的形式.P2938题的奇数38湘潭大学数学与计算科学学院思考题解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征
8、根（重根）39湘潭大学数学与计算科学学院练习题40湘潭大学数学与计算科学学院41湘潭大学数学与计算科学学院练习题答案42湘潭大学数学与计算科学学院43湘潭大学数学与计算科学学院三、欧拉方程44湘潭大学数学与计算科学学院解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数
