高数-微分方程总结课件.ppt

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1、基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.全微分方程5.线性方程可降阶方程线性方程解的结构二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容6.伯努利方程1微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离降阶作变换作变换2(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法1、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换3(3)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法4非齐次微分方程的通解为（常数变易法）伯

2、努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.5解法需经过变量代换化为线性微分方程．其中形如(4)全微分方程6注意：解法用直接凑全微分的方法.通解为7(7)可化为全微分方程形如8公式法:观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．9常见的全微分表达式可选用积分因子103、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得11特点型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1）　二阶齐次方程解的结构:12（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:1314５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐

3、次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.15特征方程为16特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法17６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.18197、欧拉方程欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)，20当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法.8、幂级数解法21二、典型例题例1解原方程可化为22代入原方程得分离变量两边积分所求通解为23例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐

4、方程伯努利方程24代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法25例3解方程为全微分方程.26(1)利用原函数法求解:故方程的通解为27(2)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为28(3)利用曲线积分求解:故方程的通解为29例4解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为30故方程的通解为31例5解代入方程，得故方程的通解为32例6解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为33原方程的一个特解为故原方程的通解为34由解得所以原方程满足初始条件的特解为35例７解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为36由解得37故原方程的通解为由即38例８解（１）　由题

5、设可得：解此方程组，得39（２）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为40解例９这是一个欧拉方程．代入原方程得(1)41和(1)对应的齐次方程为(2)(2)的特征方程为特征根为(2)的通解为设(1)的特解为42得(1)的通解为故原方程的通解为43解例10则由牛顿第二定律得44解此方程得代入上式得45测验题4647484950515253测验题答案5455