最小二乘原理.ppt

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1、第3章曲线拟合的最小二乘法仍然是已知x1…xN;y1…yN,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)。但是①N很大；②yi本身是测量值，不准确，即yif(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。最常见做法：使最小§1最小二乘原理如确定多项式，对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,N)使得达到极小，这里n<

2、达到最小，可以用数学中求极值的方法即：这种方法称为数据拟合的最小二乘法；P(x)为拟合曲线线性拟合（拟合曲线为直线）xx1x2…xNyy1y2….yN已知N个点(xi,yi)(i=1,…,N)求拟合直线用最小二乘原理求a0，a1正规方程组例已知一组实验数据如表所示.试求最小二乘拟合曲线.xi2468yi1.12.84.97.2012345678x87654321解:可设拟合曲线为y*=a0+a1x用最小二乘原理，得正规方程组：正规方程组的系数列表如下：100.412016202.211.229.457.

3、641636641.12.84.97.22468xiyixi2yixi解得所以拟合曲线为y*=-1.1+1.02xxx1x2…xNyy1y2….yN已知N个点(xi,yi)(i=1,…,N)求拟合直线的算法过程分析:因为用最小二乘原理，得正规方程组：用直线y*=a0+a1x拟合给定数据(xi,yi)(i=1,…,N)的算法描述：1、输入点的个数N,以及N个点(xi,yi)；2、计算正规方程组中各个系数：3、解正规方程组4、输出拟合直线y*=a0+a1x注：一般地，用一个n次多项式y=a0+a1x+a2x

4、2+…+anxn做数据拟合，可通过变化成多变量的数据拟合问题。y=a0+a1z1+a2z2+…+anzn§2多变量的数据拟合x1x2…xky12…Nx11x21…xk1y1x12x22…xk2y2…x1Nx2N…xkNyN已知影响变量y有多个因素x1,x2,…,xk一般地，N>k，如果拟合曲线为y*=a0+a1x1+a2x2+…+akxk用最小二乘原理，来确定全部系数a0、a1、…、ak[]=-+++=Niikik1ikyxaxaaaaa121010...),...,,(j§3非线性曲线的数据拟合使用

5、最小二乘原理拟合数据时，拟合曲线的选择是很重要的，通常拟合曲线y*是由数据分布情况或经验确定的，不一定都是线性模型，但有的经过变换可化为线性模型例：xy(xi,yi),i=1,2,…,N根据数据分布情况，可以选用双曲线作为拟合曲线将化为后易解a和b。),(iiy’x’),(iiyx如：根据经验公式xbeay=(a,b为常数)线性化：由可做变换xbay+=lnlnbBaAxx’yy’====,ln,,lnBx'Ay’+=就是个线性问题线性化：例：求一个形如y=aebx的经验函数公式，使它能够和下列数据相拟

6、合x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6线性化：由可做变换xbay+=lnln用最小二乘原理，得正规方程组：