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1、基于最小二乘(LS)估计的信道均衡原理J最小二乘估计原理考虑短波数字通信系统的均衡问题，传输信道与均衡器的简化框图如图1所示。本朋训凉序加性崛声发送训竦序忖｝传输惦道冲击响lSh(n)估计序列d(/7)►谋差陣蚓e(n)图1基于LS估计的信道均衡设均衡器采用图2所示的N+M+1抽头的FIR横向滤波器。均衡器工作在训练模式，d(n)为训练序列，也即均衡器的期望输出响应。均衡器的输入信号对以表示为卷积过程u(n)=h(n)*d(n)+v(n)式屮，h(n)是信道的等效冲击响应，v(n)是加性口噪声过程。均衡器的作用即是降低短波信道h(n)造成的码间干扰等不利影响。图2N+M+1抽头系数的横向
2、均衡器(滤波器)现有输入信号u(n)的L个输入数据u(0),u(l),u(L-l),期望响应(训练序列)d(n)的L个样本d(0),d⑴,d(L・l)。一般情况下要求L>2N+2M+lo定义n时刻的输入信号向量为u(n)=[u(n+M)u(u+M—1)…u(n)…u(n—N)]T均衡器(滤波器)的权向量为(注意不是h(n)的权向量，无需计算信道h(n)的权向量)而=[w_mW_m+i…Wo…wn]t于是均衡器的估计输出为d(n)=N=wHu(ri)=uT(n)w*=》w^u(n—k)(1)k=-M上式中，d仇)为存在码间T扰的均衡器估计输出。第n时刻的估计值需要输入第n吋刻之前的M个样木
3、值和第n时刻之示的N个样木值。注意M可以取值为0。估计谋差为e(n)=d(n)—d(ri)=d(n)—uT(n)iv*实际上进行滤波时，仅考虑当输入信号u(n)完全进入均衡器各节点的情况，即进入均衡器的样木数大于或等于N+M+1,此时各时刻的滤波估计误差为：当n=N时(根据图2,第一个输出时刻是n=N,不是n=M),有N£(/V)=d(N)—d(N)=d(N)—ur(/V)iv*=d(N)—》w；u(N—fc)k=-M当n=N+2时,有e(N+1)=d(N+1)-d(/V+1)=d(N+1)-uT(/V+l)w*当n=L-M-l时e(L-M-1)=d(L-M-1)-》w^u(L-M-1-
4、/c)k=-M将以上各式写成方程组的形式，并収共饥，有_MN)_「d(N)T'叭N+M)“(N+M-l)…w(°)&厂—J心+1)■■=d(N+l)••—i/(N+M+l)■■u(N+M)…••••w0)•■•■•f(L—M-1)■■■d(厶_M_1)■u^L—1)••比(厶一2)••-■u(L-•-林_(2)定义误差向量3和期望响应(训练序列)向量d分别为e=[e(N)e(N+1)…e(L-M-1)]Hd=[d(N)d(N+1)…d(L-M-1)]H定义数据矩阵A=”(N)7(W+l)…讹_叭N+M)讥N+M_l)…w(0)T_况(N+M+l)%(N+M)…w(l)••••••••••
5、••w(L-l)ii(L_2)…u(L-M-N-l)由式(1)定义估计输岀向量》为2=[/(N)2(N+1)…2(厶一=Aw所以式(2)可以表示为e-d-d=d-Aw(3)均衡器的设计原则是，寻找权向量祁使得误差信号e(n)在某种意义下取得极小值。注意到式(2)或者上式是由L-M-N个方程构成的线性方程组，未知量wkfk=-M，…,0,・・・,N的个数是滤波器的抽头个数N+M+1。一般来说，输入数据的个数总是比滤波器权值的个数大得多，即L-M-N>N+M+lo此时对于式(2)或者式(3)来说，方程组的个数人于未知量的个数。此时，若令e=0,由式(3)可得方程组Aw=df但是该方程组在一般
6、意义下无解，即找不到一个向量祁满足全部L-M-N个方程。尽管不能找到一个解祁，使得方程Aw=d成立，但是可以找到一个帀的估计值呂，使得浜差向量e=d-Aw在某种意义卜•取得极小值。在最小二乘（LS）意义下，使估计误差的模的平方和J=eHe=（d-Aw^H（d-Awj取得极小值，所得到的解称为最小二乘解。耍得到丿的极小值，首先求丿关于而的梯度ajVJ=2-^=-2And+2AhAwdw令VJ=O,得AHA^=AHd（4）上式是使丿取得极小值时问必须满足的条件，称为确定性正则方程。当L-M-N>N+M+1时,如果方阵屮4是非奇异的，那么在最小二乘意义下，确定性正则方程的解为鼠=（屮町S吃（5
7、）—♦经常将2=称为对期望响应向量d的最小二乘佔计，简称LS估计。2、最小二乘问题的求解在工程实现时，如要获得均衡器的权向屋估计值矗，就要求解式4。如果直接求解确定性正则方程（式4）AHA^=AHd,需要进行矩阵求逆运算，因此必须考虑AM的奇异性。如果力H/1是非奇异的，矩阵求逆运算不仅计算量大，还有可能发散,T程实现上也不易实现。式4的求解可以使川奇异值分解來求解，也可以使丿IJ递归最小二乘（RLS）算法（求解算法很多，暂时不考虑
