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1、__________________________________________________复数与方程 重点难点:一元二次方程 一、二项方程:形如(a0,an∈C,an≠0,n∈N)的方程 基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。 例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根， ∵
∴其4次方根为(k=0,1,2,3) ∴原方程的解为下面4个复数: 法2、求方程的解，即求复数的4次方根。 ∵由知1-i为的一个4次方根，
∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4
2、次方根分别为: ∴方程的解分别为1+i,-1+i,-1-i,1-i。 解2)令, ∴, ∴ 解之有, ∴原方程的根为2-i或-2+i。____________________________________________________________________________________________________ 注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式 (k=0,1,2,……,n-1) 求其n个n次方根。如例(1)解法1，此n个复数
3、的几何意义是复平面上n个点，这n个点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆上，组成一个正n边形。 <二>若能由已知中找出个Z的n次方根Z0，则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下: ,。如例(1)解法2。 <三>若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时，则可以考虑用n次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 二、一元二次方程 1.a,b,c∈R时基本解法
时，两不等实根可由求根公式求出，
时，两相等实根。可由上面公式求出，
时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出
4、。另:韦达定理仍成立。 2.a,b,c∈C时基本解法 判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式,δ是b2-4ac的一个平方根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程。 解:∵，∴=， ∴原方程的根为。
注:∵(x-1)(x2+x+1)=x3-1____________________________________________________________________________________________________ ∴x2+x+1=0的根也是x3=1的根，即
5、1的两个立方虚根。
记,则，其有如下特征: ①； ②； ③； ④； ⑤ 要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。 例3．在复数集中解方程①2x2-6ix-6=0；②x2-(5-3i)x+(4-7i)=0。 解①:∵ 其平方根为，
∴原方程根为， ∵；其平方根为(1-i)或-(1-i)， ∴原方程的根为，即3-2i或2-i。 注:在例3①中Δ>0，但有两虚根，可见判别式定理对于复系数的一元二次方程来谈已不成立。要注意不要轻易由Δ的正负情况给根下结论。 三、含的方程 基本解法：1．令Z=x+y
6、i(x,y∈R)，由复数相等转化为实数方程来解决。 2．若由①困难，则看是否能求出
7、Z
8、，然后代回去再解。 例4．令,解方程 解:令Z=x+yi(x,y∈R)，则原方程化为:
即，
∴由复数相等的条件有
解之有x=0,y=3(x=4,y=3是增根，舍去）∴原方程的解是3i。 例5．解方程。 分析:三次方程解起来比较困难，所以考虑。 解:∵, ∴两边取模有 即,_______________________________________________________________________
9、_____________________________ ∴, ∴
10、Z
11、=0或
12、Z
13、=1, 当
14、Z
15、=0时，Z1=0，当
16、Z
17、=1时，含Z=cosθ+isinθ代入原方程有cos3θ-isin3θ=cosθ+isinθ即 cos(-3θ)+isin(-3θ)=cosθ+isinθ，由复数相等条件有:-3θ=θ+2kπ(k∈Z)
∴, ∴Z2=1,Z3=-1,Z4=i,Z5=-i, ∴原方程有5个根:0，±1，±i。 注:令Z=x+yi(x,y∈R)是解决含的方程的基本出发点。有时由于题目的特殊性，应用此法去解方程
18、会有困难，如出现高次等等，这时要注意题目特点，从题目结构出发，正确运用共轭及模的性质，看能否先求出
19、Z
20、，然后再带回解决问题，如解方程Zn=等。 参考练习: 一、在复数集中解下列方程:
二、关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i
