模块五 测量误差的基本知识 项目53 误差传播定律的应用.ppt

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1、模块五测量误差的基本知识项目5.3误差传播定律的应用2典型工作任务5.3误差传播定律的应用8/5/20215.3误差传播定律的应用一、误差传播定律二、注意事项三、应用举例8/5/20215.3误差传播定律的应用在实际工作中，有些未知量经常不能直接测定，必须由直接观测值间接推算出来。如多边形的内角和，而是直接测定内角，然后相加得出内角和，因此，多边形的内角和为各个独立观测角的函数。又如，对某段距离作了n次同精度丈量得，求该段长度的算术平均值，即用三角高程测量的方法测量地面上两点的高差h，是通过观测的水平距离D和竖直角；，按照函数关系来计算的，等等。以上各式都称函数式，

2、可以测表示。显然，在直接观测的情况下，观测值的中误差和观测值表示。显然，在直接观函数的中误差存在着一定的关系。阐述独立观测值中误差和观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律，它在测量中应用十分广泛。8/5/2021一、误差传播定律设z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即式中：x1，x2，…，xn为互相独立的直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m2，…，mn。当x1，x2，…，xn分别有真误差△x1，△x2，…，△xn时，则函数z随之产生真误差△z，因误差△x（i=1,2,…,n）是一个微小数值，变量的误差与函数误差之间的关系，可以近似地用函

3、数的全微分来表达。把微分得如将上式中的微分量“d”改用真误差“△”，则得8/5/2021式中代入偏导数后求出的数值，故均为常数。根据中误差的定义，即可直接写出中误差关系式：为函数z分别对各变量xi的偏导数，并将观测值xi则观测值的函数z的中误差为:(5—6)8/5/2021等于该函数对每个观测值所求得的偏导数值与相应观测值中误差乘积的平方取总和再求平方根。从公式（5—6）的推导过程可以总结出应用误差传播定律时的几个步骤：（1）写出函数式，如（2）对函数z进行全微分，即，分别求出（3）将、带入关系式（5—6）求出根据关系式（5—6）可导出下列简单函数式的中误差传播公式

4、（见表5—2）。8/5/2021表5—2简单函数式的中误差传播公式函数名称函数式中误差传播公式备注倍数函数为常数和差函数线性函数8/5/2021二、注意事项应用误差传播定律应注意以下两点：1．要正确列出函数式【例5—3】用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为=±5mm，求全长D及其中误差mD。1）函数式D=10按倍数函数式求全长中误差，将得出=10×30=300m2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为按实际情况分析用和差公式是正确的，用倍数公式是错误的。8/5/20212．在函数式中

5、各个观测值必须相互独立，即互不相关。【例5—4】有函数式：z=y1+2y2=1(a)而：y1=3x;y2=2x+2(b)若已知x的中误差为mx，求z的中误差mz。1）直接用公式计算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得（上面所得的结果是错误）上面的结果为什么是错误的？8/5/2021因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。8/5/2021【例5—5】在1:500地形图上，量得某线段的平距为dAB=51.2mm±0.2mm，求

6、AB的实地平距DAB及其中误差mD。解：函数关系为：DAB=500×dAB=25600mmmd=±0.2mm。代入误差传播公式中，得：mD2=5002×md2=10000mD=±100mm最后得：DAB=25.6±0.1m三、应用举例8/5/2021【例5—6】某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m,b=15.000m,其中误差分别为ma=±0.005m,mb=±0.003m,求该场地面积A及其中误差mA。解：函数关系式为A=a×b属于倍数函数该场地面积得A=a×b=450.000m2求函数对各观测值的偏导函数得转换成中误差表

7、达式并求得值为8/5/2021【例5—7】水准测量中，已知后视读数a=1.734m，前视读数b=0.476m，中误差分别为ma=±0.002m，mb=±0.003m，请同学们试求两点的高差及其中误差。解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258m±0.004m。8/5/2021【例5—8】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50m，中误差mL=±0.05m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差mα=±3′，请同学求水平距离D及其中误差mD。解:1）首先列出函数式2）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分3）先求出各