高等数学第1章第3节.ppt

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1、数列极限收敛数列极限函数极限§3函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入S=正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如二、数列的定义数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取数列是整标函数f(n)具有函数的一些性质：如单调性xn+1xn、有界性xnM，等。注:三、数列的极限n=19n=32n=42n=50问题:1)当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过演示实验的观察:随

2、着n的增加，1/n会越来越小。例如我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度.只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注:几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。例1证所以,例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).例3证例4证思考证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值从而时，

3、仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为定理1（唯一性）每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.1.3.2收敛数列的性质有界性例如,有界；无界。定理2收敛的数列必定有界.证由定义,有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.注:例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.定理3（保号性）定理4四项基本运算定理5（保不等性）若使得定理6.夹逼准则证上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例1解由夹挤定理得定理7.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:例2证(舍去)1.3.3函数极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限特例：通过上面演示

4、实验可观察到:问题:如何用数学语言刻划当x无限增大，函数f(x)“无限接近”确定值A.1、定义2.另两种情形3.几何解释例1证2.自变量趋向有限值时函数的极限几何解释注：例2证例3证例4证函数在点x=1处没有定义.例5证3.单侧极限例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例6证例7解左右极限存在且相等,定理10.局部有界性定理9.唯一性定理11局部保号性推论定理定理12、极限运算法则推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理15.复合函数极限性质定理设函数u=(x)在x0的某个去心领域U(x0,)内(x)a,但是则复合函数f[(x)]当xx0时的极限也存在,且例1解小结:解商

5、的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.例6解1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.三、小结函数极限的统一定义(见下表)四、小结过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可

6、知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．思考思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.(1)三、两个重要极限例3解3)设u=arcsinxx→0时u→0,(2)首先证明类似地,x与n同时趋向+用变量代换可求出例4解例5解思考题求极限思考题解答