高等数学(第2版)第2章.ppt

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1、第2章极限与连续基本要求理解数列和函数的极限概念了解极限的性质，理解极限的四则运算法则理解无穷小量和无穷大量及两者间的关系熟练掌握应用两个重要极限公式求极限了解求极限的基本方法理解函数连续的概念掌握函数在一点处连续的性质掌握闭区间上连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间上连续的性质了解间断点的概念，会判断间断点的类型2本章重点函数极限的概念与性质极限的求法函数连续的概念与性质本章难点对函数极限定义的理解两个重要极限公式的应用闭区间上连续函数的性质与应用32.1函数的极限函数概念刻画了变量之间的关系，而极限概

2、念着重刻画了变量的变化趋势。极限是学习微积分的基础和工具。42.1.1数列的极限52.1.2函数的极限6习题2.1参见教材P2772.2无穷小量与无穷大量2.2.1无穷小量1．无穷小量的定义2．极限与无穷小之间的关系3．无穷小量的性质性质2.1有限个无穷小的代数和还是无穷小。性质2.2有界量与无穷小的乘积还是无穷小。推论2.1常数与无穷小的乘积还是无穷小。性质2.3有限个无穷小的乘积还是无穷小。4．无穷小量的比较82.2.2无穷大量92.2.3无穷大量与无穷小量的关系10习题2.2参见教材P32112.3极限

3、的运算法则2.3.1极限的基本性质122.3.2极限的运算法则13习题2.3参见教材P36142.4两个重要的极限通过前面三节的学习，知道了一些求极限的方法，如运用极限的定义和运算法则。除此之外，还经常用到下面要讨论的两个重要极限。本节给出判定极限存在的两个准则，并依据它们给出两个重要极限。152.4.1判定极限存在的两个准则162.4.2两个重要极限公式17参见教材P39习题2.4182.5函数的连续性连续性是函数的重要性质之一，它反映了自然界中的许多现象，如气温、物体运动的路程等都随着时间的改变而发生连续

4、变化，当时间的改变量很小时，该时刻气温的温度、物体运动路程的改变量也很小。在数学上，就可以用函数的连续性来表达这一性质。192.5.1函数连续的概念202.5.2初等函数的连续性1．连续函数的和、差、积、商的连续性2．反函数与复合函数的连续性3．初等函数的连续性212.5.3函数的间断点222.5.4闭区间上连续函数的性质23习题2.5参见教材P4624小结本章知识构架25典型问题与分析1．求数列、函数的极限是本章的重点之一，在求解过程中要好好总结不同情况下的解法，在本章中介绍的求极限的方法主要有以下几种。(

5、1)利用极限的定义去分析求解。(2)利用极限的四则运算法则求极限。(3)利用分子、分母消掉零因式求极限。(4)分子、分母同除最高次幂求极限。(5)利用无穷小的性质求极限。(6)利用等价无穷小量代换法求极限。(7)利用两个重要公式求极限。(8)利用函数的连续性求极限。(9)利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限。2．比较两个无穷小量的阶。利用定义就可以做到，其实质仍然是归结为求极限问题。3．求分段函数在定义域分界点上的极限问题。同学们要注意，此时必须求左、右极限，然后用定理来判定。4．求分段函数

6、在定义域分界点上的连续性问题。类似于求这时的极限，此时也必须求左、右连续性，然后用定理来判定。5．求函数的间断点及类型。理解并牢记间断点发生的条件及分类，相信这个问题比较好解决。6．利用闭区间上连续函数的性质与定理求有关证明问题。其中利用零点(根的)存在定理求方程解的问题比较多见，解这类问题的关键是根据方程的形式，构造出相应的函数关系式，然后讨论该函数在相应区间上是否满足闭区间上连续且两端点处的函数值是否符号相反，从而利用以上定理得出最后结论。26学法指导1．本章的重点是求极限，那么正确理解函数的极限很重要。

7、2．对于怎么求极限，在前面也给同学们总结了，其实求极限的方法远不止这些，后面还会陆续学到。3．本章的另一个重点问题就是函数的连续性问题。同学们在理解这个概念时，不要认为它很抽象，其实对函数连续的理解与我们现实生活中所理解的连续是一致的，感觉到周围和风拂面，看到随风舞动的树枝，它们的变化都是一个时间段内连续不断的过程，数学上的连续就是用式子来表达这种不间断的过程和性质。4．本章概念较多，但联系比较密切，只有明确它们之间的联系，才能对它们有更深刻的理解，所以大家在看书时理清它们之间的关系很重要。27复习题2参见教

8、材P4828