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1、§2.4连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其概率密度常用的连续型随机变量及其分布小结练习引入连续性随机变量的背景引例1、“守株待兔”中的盼望兔子来撞树的等待时间。2、几何概型中“约会”的等待时间。3、电子元件的使用寿命。4、生产机器零件尺寸误差。以上问题不论是等待时间、使用寿命、还是尺寸误差，它们都有一个共同的特点，其取值不再是离散的，都是在整个实数上或某个区间上可连续取值的。这一节专门讨论这种类型的随机变量。2.4.1连续型随机变量及其概率密度定义性质证明非负性归一性1证明同时得以下计算公式性质(1)、(
2、2)是概率密度函数的充要性质.思考设随机变量X的概率密度为说明求常数性质5对于任意随机变量X,都有注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件，则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型解例1例2故有解(1)因为X是连续型随机变量,2.4.2常见连续型随机变量及其分布1.均匀分布概率密度函数图形均匀分布的意义分布函数例3解设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少
3、有两次观测值大于3的概率.（p53练习10题）X的概率密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”,解即A={X>3}.例4因而有设Y表示3次独立观测中“观测值大于3”的次数,则均匀分布的应用见P462.指数分布记为某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数指数分布也可定义为则称X服从参数为>0的指数分布，其分布函数为例5设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为θ=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000
4、小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布函数为解指数分布的重要性质:“无记忆性”.3.正态分布正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位.正态分布是最常见最重要的一种分布，例如：测量误差，人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.(1)正态分布正态概率密度函数的几何特征单峰对称正态分布的分布函数正态分布下的概
5、率计算原函数不是初等函数方法:转化为标准正态分布查表计算标准正态分布的概率密度表示为（2）标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形(x)是偶函数，其图形关于纵轴对称易见一般的概率统计教材均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值.（见P211附表2）且有解例6附表2（3）正态分布的标准化设X~N(1,4),求P(0X1.6).解附表2例7解一例8解二图解法0.2由图0.3(1)所求概率为解例9（4）上分位点设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z为X的上分位点.z常用的几个
6、数据(5)3原理设X~N(,2),求解在一次试验中,X落入区间(3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间的可能性很小.例10说明已知测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米),问必须进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值并不超过0.9，则例11分布函数连续型随机变量☺小结☺几个常用的连续型随机变量均匀分布正态分布指数分布无记忆性P{c7、人的生理特征尺寸如身高、体重等,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布.正态分布是概率论中最重要的分布可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换另一方面,长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不
8、知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)EX1解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Yb(3,p),其中一种电子元件的使用寿命X（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时
