ch4特征值和特征向量、矩阵的相似对角化.ppt

《ch4特征值和特征向量、矩阵的相似对角化.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章特征值和特征向量、矩阵的相似对角化第一节特征值与特征向量一特征值与特征向量的概念二特征值和特征向量的求法第一节特征值与特征向量三特征值和特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念定义Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量　　，特征值问题只针对与方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．定理设ｎ阶方阵　　　　的特征值为则证明①当　　　　　是Ａ的特征值

2、时，Ａ的特征多项式可分解为令得即证明②因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为二、特征值和特征向量的性质推论１ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零.若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，则　为　的特征值．推论２则　为　的特征值．推论３则　　为　的特征值．推论４则　为　的特征值．推论５特别单位阵Ｅ的一个特征值为１．三、应用举例１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为

3、（　　）２、证ｎ阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为０或１．３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则（　　）４、求下列方阵的特征值与特征向量四、特征向量的性质定理互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。定理互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。定理若ｎ阶矩阵Ａ的任　重特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过．一相似矩阵的定义、性质二矩阵可相似对角化的条件三应用举例第二节矩阵相似对角化一、定义定义设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，使得则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵Ａ与Ｂ相似．称为对Ａ进行相似变换，对Ａ进行运算可逆矩阵Ｐ称

4、为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．记作：Ａ∽Ｂ．二、性质（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：Ａ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；（4）Ａ∽Ｂ，则（5）Ａ∽Ｂ，则（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则定理若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．推论若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵相似，就是Ａ的ｎ个特征值．则而对对角阵有则若有可逆矩阵Ｐ使（8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式特别这样可以方便地计算Ａ的多项式（7）Ａ∽Ｂ，则若能寻得相似变换矩阵Ｐ使对ｎ阶方阵Ａ，称之为把方阵Ａ对角化．三、相似对角化定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相似，那么，使得的矩阵

5、Ｐ又是怎样构成的呢？则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值．设存在Ｐ可逆，使得有于是有因为Ｐ可逆，故于是是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量。反之，即设可逆，且则Ｐ若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量所以即Ａ与对角矩阵Λ相似．定理ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量．推论如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ注意Ｐ中的列向量的排列顺序要与的顺序一致．（1）可相似对角化．（2）是的基础解系中的解向量，因的取法不是唯一的，故因此Ｐ也是不唯一的．（3）所以如果不计的排列顺序，的根只有ｎ个（重根按重数计算）又是唯一的．则推论若ｎ阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任　重特征值对应

6、　个线性无关的特征向量．例题：3.实对称矩阵的相似对角化1.n元实向量的内积、施密特正交化方法、正交矩阵2.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质第三节　实对称矩阵的相似对角化一、内积的定义与性质1、定义设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有２、性质（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：当且仅当时推广性质：１、长度的概念二、向量的长度与夹角令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.特别长度为１的向量称为单位向量.（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：２、性质（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:当且仅当α

7、与β的线性相关时，等号成立.注①当时，②由非零向量α得到单位向量是α的单位向量.称为把α单位化或标准化.的过程３、夹角设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹角的余弦为因此α与β的夹角为例解练习三、正交向量组及其求法1、正交当，称α与β正交.注①若　　，则α与任何向量都正交.②③对于非零向量α与β，2、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.3、标准正交组由单位向量组成的正交组称为标准正交组.定理4、性质正交向量组必为线性无关组.定理若向量β与β与中每个向量都正交，则的任一线