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《第四章 特征值与特征向量 矩阵的相似对角化.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章特征值与特征向量矩阵的相似对角化第四章1本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。2第一节矩阵的特征值与特征向量定义一、基本概念例如，3说明1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值☎证可见，特征向量并不唯一。4☎一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：☎证可见，属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于该特征值的特征向量。5二、特征值与特征向量的计算方法即要求齐次线性方程组有非零解，即方程的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。记称为矩阵A的特征多项式，6称为矩阵A
2、的特征多项式，为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。记7计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：8例1设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为相应齐次线性方程组的基础解系为9相应齐次线性方程组的基础解系为10例2设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为11相应齐次线性方程组的基础解系为12相应齐次线性方程组的基础解系为13相应齐次线性方程组的基础解系为14例3解所以A的特征值为设求A的特征值与特征向量。15相应齐次线性方程组的基础解系为16相应齐次线性方程组的基础解系为17对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。18三
3、、特征值与特征向量的性质性质1证(2)可推广到多个特征向量.19性质2证(1)20性质2证(2)重复这个过程,可得21性质2证(3)设A可逆,矛盾；22性质3证从而有相同的特征值.注意：23属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。性质4属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况.证(1)(2)推广24例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例5证幂等矩阵25练习:例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例5幂等矩阵26例6解由性质2,注：因为方阵A可逆，所以其所有特征值不等于零.27矩
4、阵的特征多项式的性质中出现,故有而常数项等于所以28比较系数得性质5推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.29例7解30例8解计算下列行列式的值：所以31矩阵的迹的性质证略。32练习：P213习题4.11.33相似矩阵与矩阵的相似对角化第二节34一、相似矩阵定义对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得则称A与B相似,记为因为对任意例1与单位阵E相似的矩阵只有它自己，可逆阵P,类似地，与数量阵kE相似的矩阵只有它自己.例235矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：(2)对称性：证(3)传递性：证36相似矩阵的性质：定理相似矩阵有相同
5、的特征多项式,从而特征值相同.证推论1相似矩阵的行列式相等；推论2相似矩阵的迹相等；推论3若矩阵A与一个对角阵相似,(对角阵的特征值即为主对角元).37注意：特征值相同的矩阵不一定相似.但它们不相似,因为与E相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其他性质：相似矩阵的秩相等；若P,Q为可逆矩阵,则有38A,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3)，其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6)39例3解40n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。二、矩阵可相似对角化的条件定理如果一个矩阵能与一个对
6、角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。证必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使41即即得必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。42推论1如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.注意:这个条件是充分的而不是必要的.如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量,A还是能对角化．43解例444特征向量特征向量45特征向量特征向量特征向量46令则47例3解判断矩阵能否对角化，若能，特征向量可对角化,48特征向量49例4解只
7、有一个线性无关的特征向量,判断矩阵能否对角化，若能，所以不能对角化.50例5解得A的特征值为5152例6解53从而A可相似对角化.秩为1，54从而A不可相似对角化.秩为2，55一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得则于是转化为对角阵求幂，而对角阵求幂是容易的。56例7解设5758练习：P213习题4.21.59第三节内积与正交化一、向量的内积定义给定Rn中向量实数例160向量的内积具有如下基本特性：证明是显然的.61二、向量的长度定义例262向量的长度具有如下性质：证略63长度为1的向量称为单位向量.例3证64三、正交向
8、量组与施密特正交化方法定义显然零向量与任何向量都正交，即65例4解
