第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化

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1、第五章特征值与特征向量矩阵的对角化本章介绍矩阵的特征值和特征向量概念,并利用它们解决矩阵的对角化问题。另外特征值理论在解线性微分方程组和工程技术中诸如振动与稳定性问题时,都有广泛的应用。§1矩阵的特征值与特征向量定义1　设A是n阶方阵,如果存在数和非零的n维向量,使得(1.1)那么,称为矩阵A的一个特征值,而称为A的属于特征值的一个特征向量。从几何上看,矩阵A的特征向量经过矩阵A作用后所得到的向量与特征向量共线,而比例系数就是特征向量所属的特征值。如果是矩阵A的属于特征值的特征向量,则的任何一个非零倍数也是A的属于的特征向量,因为从(1.1)式可以推出

2、进一步,若，都是A的属于的特征向量,且≠0,则仍然是A的属于的特征向量。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。因为,容易证明一个特征向量只能属于一个特征值。下面讨论特征值和特征向量的求法。根据定义,若为n阶矩阵的属于特征值的特征向量,则为齐次线性方程组即（1.2）的非零解,反之亦然。根据线性方程组解的理论可知,是矩阵的特征值的充分必要条件为方程组(1.2)的系数行列式。定义2对于n阶矩阵，是的n次多项式,称为方阵的特征多项式,方程称为方阵的特征方程。109根据前面的讨论，得到求矩阵的特征值和特征向量的具体步骤:

3、(1)写出矩阵的特征多项式;(2)求出特征方程的全部根。这些根就是的全部特征值。(3)对所求得的每一个特征值,代入齐次线性方程组,求出一个基础解系:，则不全为0)便是的属于特征值的全部特征向量。例1求矩阵的特征值和特征向量。解的特征多项式为所以的特征方程为，得的特征值。对于时,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量是,其中,为实数。对于,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量是,其中109,为实数。例2求矩阵的特征值和特征向量。解的特征多项式为:所以的特征方程为=0，得的特征值。对于时,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部

4、特征向量是，其中,为实数。对于,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量为(其中,是不全为0的实数)。109例3　求n阶数量矩阵的特征值和特征向量。解矩阵的特征多项式。从而的特征方程为,得的特征值。对于,解方程组此方程组的系数矩阵是零矩阵,所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系。取单位向量组,,…,作为基础解系,于是的属于特征值的全部特征向量为(不全为0)。由例3可推广,任一对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的元素,从而对角矩阵的所有特征值之和等于主对角线上元素之和，而的所有特征值的乘积等于行列式,根据多项式的根与系数之间的关系,此结论可

5、推广到任意方阵。设n阶矩阵有n个特征值为(k重特征值算作k个特征值),则(1)　　；（2）。其中是的主对角线元素之和,称为矩阵的迹,记作。例4设是方阵的特征值,证明是的特征值。证因为是方阵的特征值,所以存在非零向量,使。109从而。所以是的特征值。按例4类推,若是的特征值,则是的特征值,是的特征值，其中,(留作练习)。定理1　设是矩阵的互不相同的特征值,是其对应的特征向量,则是线性无关的。证对不同特征值的个数作数学归纳法。当时,因为特征向量非零,所以是线性无关的,结论成立。假设定理对成立,下面证明:时也成立。设　　　　(1.3)用矩阵左乘上式两端,得即

6、　　　　(1.4)将(1.3)式两端分别乘以,得　　　(1.5)(1.5)式两端分别减去(1.4)两端,得由假设线性无关,于是有,由已知条件是个不同的特征值,从而(),所以(1.6)将(1.6)式代入(1.3)式,得109由特征向量,得,故线性无关。综合上述，定理成立。推论1设是n阶矩阵A的个互不相同的特征值,对应于的线性无关的特征向量为(),则由所有这些特征向量构成的向量组线性无关。§2相似矩阵和矩阵的对角化对角矩阵是最简单的一种矩阵,现在考虑对于给定的n阶方阵,是否存在可逆矩阵,使为对角矩阵,这就称为把方阵对角化。为此,首先给出相似矩阵的概念。定义

7、1设都是n阶方阵,若存在可逆矩阵,使则称矩阵与相似,或、是相似矩阵,记为～,可逆矩阵称为将变换成的相似变换矩阵。由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系,具有如下性质(1)反身性～；(2)对称性若～,则～；(3)传递性若～,～,则～。它们的证明,留给读者作为练习。定理1相似矩阵有相同的特征多项式,从而也有相同的特征值。证设～,则存在可逆矩阵,使,故。推论1相似矩阵的行列式相同,迹相同,秩也相同。下面介绍矩阵可对角化,即相似于对角矩阵的条件。定理2n阶矩阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量。证必要性设可对角化,则存在可逆矩阵,使即将矩

8、阵按列分块,令=(),则有109=()因此()。因为为可逆矩阵,所以的n个列向量都是非零向量,