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《《线性代数教学资料》第五章矩阵的特征值和特征向量矩阵对角化》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五章特征值和特征向量矩阵的对角化振动问题、稳定性问题和许多工程实际问题的求解，最终归结为求某些矩阵的特征值和特征向量的问题。本章主要讨论：矩阵的特征值和特征向量；矩阵在相似意义下化为对角阵;实对称矩阵的对角化。第一节矩阵的特征值和特征向量相似矩阵内容要点一、特征值和特征向量的基本概念定义5・1设4为刃阶方阵，如果存在数久和非零刃维向量兀，使得Ax=Ax（5.1）就称2是矩阵A的特征值，兀是的属于（或对应于）特征值2的特征向量。注：1、特征向量XHO；特征值问题是对方阵而言的。2、1是单位阵的唯一特征值，任意非零维向量都是单位阵的特征向量。3、0是零矩阵的唯一特征值
2、，任意非零〃维向量都是零矩阵的特征向量。由定义得，特征值为方程（加-A）x=O有非零解的2值，即满足方程det(/l/-A)=0(5.2)的久都是矩阵A的特征值。定义5.2设n阶矩阵A=（角），则2-如~a2…一％/(x)=det(2/-A)=一°2I■■■2_幺22…-a2n••••••(5.3)一5-a“2…2一%称为矩阵A的特征多项式，AI-A称为A的特征矩阵，式（5.2）称为A的特征方程。例1求矩阵'5-1-131-14-21的特征值和特征向量。解：矩阵A的特征多项式为2-511det(2/-A)=-3A-11=(2-3)(2-2尸-42A-1故A的特征值
3、为入=3,人=2（二重特征值）。当入=3时，由（^I-A）x=Of即■-21r_0_-321兀2—0-422兀30得其基础解系为XI=(1,1,1)7因此，kX(数心工0)是人的对应于2,=3的全部特征向量。当入=2时，由(Aj-A)x=O,即_-31「-311兀2—0-421尤30得其基础解系为X2=(l,l,2)r,因此，k2X2(数©HO)是4的对应于人=2的全部特征向量。例2主对角元为绚
4、,勺2,…,0”的对角矩阵A或上(下)三角矩阵B的特征值为刃个主对角元。二、特征值和特征向量的性质定理5・1设X
5、和X?都是A的属于特征值入的特征向量，则+k2X2也
6、是A的属于特征值入的特征向量(其屮心是任意常数，但比兀+他火2工0)。i^VA={xai-A)x=0}f称为特征值2的特征子空间，它的维数为dimVA=n-厂(2/—A).定理5.2设n阶矩阵A=(呦)的n个特征值为血,入2，…,久"，则(i)＞入=＞為‘(")£7=detA.i=i=i=注：1、A的主对角元之和称为矩阵A的迹，记作tr(A)=^cz,./=i2、注意多项式系数与根之间的关系。性质1设兄是矩阵A的特征值，x是的属于2的特征向量，则(i)QI是也的特征值(R是任意常数)；(ii)才是理“的特征值(加是正整数)；(iii)当A可逆时，久“是的特征
7、值；且兀仍是矩阵也，“"，人一
8、的分别对应于特征值r,zT的特征值向量。性质2矩阵A和人厂的特征值相同。证：因为(AI-A)t=(AI)t-At=AI-At,所以det((/lZ-A)T)=det(/lZ-AT)=det(A/一A)因此，矩阵A和A7"有完全相同的特征值。1-112-22.-11-1(i)求A的待征值和待征向量；(ii)求可逆矩阵P,使P~]AP为对角阵。解：(i)2-11-1det(A7-A)=-22+2-2二才(Q+2).1-12+1故A的特征值为入二&=0(二重特征值)，入=一2。当人=0吋，由(^Z-A)x=0,即Ax=0,得基础解系X{=(
9、1,1,0)r,X2=(-1,0,1)7因此，k}X^k2X2(其中数匕，化不全为零)是人的对应于&=0的全部特征向量。当；U=—2时，由(AJ-A)x=0,即_-31O-20-2x2=01-1-1_X3.0得基础解系为X3=(-1,-2,1)7',因此，A的对应于入=-2的全部特征向量是k.X3(数比3H0)•(ii)将阿=2占(i=1,2,3)排成矩阵等式A(XpX2,X3)=(XpX2,X3)取_1-1-「2_P=(XpX2,X3)=10-2,A=011_则AP=PA,且P=2h0,因此P」AP为对角阵。三、相似矩阵及其性质定义5.3对于矩阵A和B,若存在可逆
10、矩阵P,使P-]AP=B,就称A相似于B,记作A〜B.相似关系是一种等价关系，满足一下三条性质：(i)反身性：A~A.(ii)对称性：若A~B,则B〜A.(iii)传递性：若A〜BB〜C则A〜C相似矩阵具有以下性质：(1)P~k]Al^-k2A2)P=k]p-lAiP^k2P~[A2P(其中心，乙为任意常数).(2)P~](A}A2)P=(P~lA}A2P).(3)若A~B,则A"~Bm.(4)若A~B,则f(A)-f(B),其中f(x)=aHxn+q”_[X"T+—%兀+4,j(A)=+a“_]A"1+…+4A+©)/,f(B)=a“B"+dn_B"1+•
