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《线性代数3.1矩阵的特征值和特征向量.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、矩阵的秩例如:对于方阵,矩阵在初等变矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性、换下可化成怎样的标准形式、线性方程组是否有解、齐次线性方程组的基础解系含有几个解向量等.还有“特征值”.能反映矩阵的许多特性.除“秩”外,Ch3矩阵的特征值和特征向量在矩阵求逆、矩阵运算中，掌握矩阵的特征值、特征向量和相似矩阵理论是重要和方便的。它们在很多方面都有广泛应用。§3.1矩阵的特征值和特征向量在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到矩阵特征值和特征向量问题。引言例如例1定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：，设是某地区目前的污染水平，是目前的工业发展水平。若干年后的污染述评和工业发展水平分别为，它们之间具有关系或记
2、有当有，，，。，由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态具有倍数关系。这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。。下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明，均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。时一、矩阵的特征值、特征向量概念定义3.1设是阶矩阵，如果存在一个数,相应地有非零向量,使得（3.1.1）,那么就称是矩阵的一个特征值,称为的一个特征向量.的属于特征值注1)矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件:（1）特征值是一个数；（2）特征向量是非零向量,且满足；（3）对任何数,有,但0不是的特征向量,也不能说不是的特征值.注2)特征值与特征向量是相互联系的两个概念,即有特征值一定有相应的特征向量
3、,有特征向量一定有相应的特征值.注3)等式刻划特征向量的特性:对作用只发生数量倍的变化.对于普通的几何空间而言,上述特性有明显的几何意义:与共线.一般地，向量经过线性变换后，表明是共线的。注4）对给定矩阵，并不是随便那个数都是它的特征值的。二、特征值、特征向量的求法、特征多项式设矩阵有一个特征值,是的属于特征值的特征向量，则,于是有.这表明是齐次线性方程组(3.1.2)的一个非零解（向量）。因而由齐次线性方程组理论，于是其系数矩阵的行列式。设为阶矩阵,命题是矩阵一个特征值充分必要条件是为以为变量的一元次代数方程(3.1.3)的根。称为A的特征矩阵，其行列式定义3.2含有未知数的矩阵称为矩阵
4、的特征多项式,记作.称为矩阵的特征方程。是A的属于特征值的特征向量的充分必要条件是为特征方程的根，设为阶矩阵,代数方程（证明略）定理3.1则是A的特征值，是齐次线性方程组的非零解（向量）。注1)的特征多项式是一个次且首项系数是1；多项式,注2)如果是A的特征值，常常称为A的特征根；注3)根据定理3.1和齐次方程组理论，可以得到推论1如果是A的属于特征值的特征向量，则对任意常数，也是A的属于特征值的特征向量。且，则推论2如果都是A的属于特征值的特征向量，也是A的属于特征值的特征向量。为数值。推论3如果都是A的属于特征值的特征向量，则也是A的属于特征值的特征向量，其中(它就是的属于特征值的全部
5、特征值、特征向量的求法注4)第一步对给定下的矩阵，计算特征多项式;第二步求出特征方程中的全部根(即的全部特征值，其中可能有重根或成对出现、重数相同的复数根);第三步对每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系的极大无关的特征向量组),由此可求出的属于的全部特征向量，其中为数值.例2．求矩阵的特征值和相应的特征向量.解：矩阵的特征多项式为因此由可得的全部特征值为.即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系，，这里为任意常数。于是的属于的全部特征向量为即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系，这里为任意常数。于是的属于的全部特征向量为，例3．求矩阵的特征值和相应的特征向量.解：矩
6、阵的特征多项式为因此没有实数解，在实数域上无特征值，但在复数域上，可得的全部特征值为解齐次线性方程组,对于，即求解得到一个基础解系，全部特征向量为，解齐次线性方程组,对于，的于是的属于的全部特征向量为，这里为任意常数。即求解得到一个基础解系，于是的属于这里为任意常数。特征值与讨论数域有关，如果限制在实数域上，矩阵的特征值可能不存在或者不够多。注5）本例表明，对于给定的实数矩阵，其特征值可能不是实数，这时它的所有特征值全为复数。对于，例4．求矩阵特征值和相应的特征向量.解:矩阵的特征多项式为因此由可得的全部特征值为（二重根），.即求解解齐次线性方程组,得到一个基础解系，于是的属于的全部特征向
7、量为这里为不全为零的任意常数。即求解对于，解齐次线性方程组,于是的属于的全部特征向量为得到一个基础解系，这里，为任意常数。求矩阵特征值和相应的特征向量.例5．解:矩阵的特征多项式为（二重根），.因此由可得的全部特征值为即求解对于，解齐次线性方程组,得到一个基础解系解齐次线性方程组,的属于的全部为非零任意常数。于是特征向量为，这里即求解对于，,于是的属于得到一个基础解系，的全部特征向量为，为任意常数。这里对于给定的阶矩阵A
