线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量

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1、§3.3实对称矩阵特征值和特征向量永远可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，定理3.12实对称矩阵的特征值都是实数。一、实对称矩阵特征值的性质证明：设是阶实对称矩阵，是矩阵的在复数域上的任一特征值，属于的特征向量为两边取复数共轭得到则，于是，(3.11)由于，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘，得到所以有特征值都是实数。这样，是实数。由的任意性，实对称矩阵的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有，实对称矩阵的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理3.12实对称矩阵的特征值都是实

2、数。对上面第一式两边左乘，的特征向量。定理3.13实对称矩阵的属于不同特征向量相互正交。证明：特征值的设，是实对称矩阵的不同特征值，，分别是属于特征值，于是，得到（3.12）而于是有这样，由得到是正交的。，即与特征向量相互正交的线性无关组。【注】实对称矩阵的属于不同特征值的向量和对应特征向量在§3.1中例4中，例1矩阵是实对称矩阵，特征值（二重）对应特征都正交。把它们化为标准正交组。当然，彼此不正交，但可以通过标准正交化方法为矩阵。把分块为，也是的属于的定理3.14设是n阶实对称矩阵,则存在正交阵,使为对角阵.下面证明对于n阶实

3、对称矩阵来说定理成立。证明：对矩阵的阶数用数学归纳法。当时,定理结论显然成立.假设对于所有阶实对称矩阵来说定理成立。故不妨设是单位向量，设是的一个特征值，是属于特征值的特征向量,显然单位向量特征向量.第一列任意正交矩阵。记是以为其中则及与的各列向量都正交，注意到根据归纳法假设，其中为阶实对称矩阵。使得对存在阶正交矩阵所以并且令，则均为阶正交矩阵，这表明阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理，对任意对每个,其中为重的，二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:根据定理3.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出的所

4、有特征值,第一步对给定实对称矩阵，解特征方程，设的所有不同的特征值为；第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系；得到正交向量组，第三步利用施米特正交化方法，把正交化，再把单位化，得到一个标准正交组，；注意：它们都是属于的线性无关特征向量！！且第四步令，则是正交阵,为对角阵，与中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。附注：矩阵主对角线元素（特征值！）排列顺序（实对称矩阵A的标准形！！）在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。例2对矩阵求一正交阵,使成对角矩阵。的特征多项式为解：矩阵解特征方程得特征值（二重），。即求解对

5、于，解齐次线性方程组得到一个基础解系，。对于，即求解解齐次线性方程组，得到一个基础解系。把正交化：得到将单位化，构造矩阵的属于0的特征向量为。则为正交矩阵，并且使得矩阵对角化为：，求矩阵。例3．设三阶实对称矩阵的特征值为，（二重），而解：因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重特征值1的线性无关向量应有两个特征向量组成，设为。根据定理3.13,它们都与正交，故是齐次线性方程组的基础解系，所以，可取（彼此正交）将它们单位化：则，是正交组，构造矩阵则为正交矩阵，对角化为：并且使得矩阵于是