实对称矩阵特征值和特征向量的数值算法

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1、第27卷
第2期西安科技大学学报Vo.l27
No
22007年6月JOURNALOFXI
ANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYJune
2007

文章编号:1672-9315(2007)02-0313-03*实对称矩阵特征值和特征向量的数值算法刘叶玲,姬战怀(西安科技大学基础课部,陕西西安710054)摘
要:结合幂法、反幂法和原点平移法的特点,给出求实对称矩阵特征值和特征向量的一种数值算法。提出的方法能有效地处理幂法、反幂法和原点平移法在迭代时可能出现的一些问题,并通过实例验证了本算法的有效性。关键词:实对称矩阵

2、;特征值;特征向量;幂法中图分类号:O151.21


文献标识码:AThemethodofcomputingtheeigenvaluesandeigenvectorsofrealandsymmetricmatrixLIUYe-ling,JIZhan-huai(Dept
ofBasicCourses,Xi
anUniversityofScienceandTechnology,Xi
an710054,China)Abstract:Inthepaper,wepresentamethodofcomputingrealandsymmetricmatrixei

3、genvaluesandeigenvectors,whichdrawstrongpointfromthepowermethod,theinversepowermethodandtheoriginmovemethod.Thealgorithmgetsovershortagesofthepowermethod,theinversepowermethodandtheoriginmovemethod.It
sappliedtoapracticalproblem.Theresultdemonstratesthatthealgorithmiseffective.

4、Keywords:realandsymmetricmatrix;eigenvalue;eigenvector;powermethod在工程实践中经常涉及到求实对称矩阵特征值和特征向量的问题,例如在对数据做主成分分析和典[1-3]型相关分析时就涉及到求解协方差矩阵的特征值和特征向量的问题。求解特征值问题有很多方法,常用的有:LR方法、QR方法、幂法和反幂法、雅可比法。幂法是求解矩阵特征值的一种常用方法,用于计算矩阵绝对值最大的特征值。在实际应用中,幂法的收敛速度由第一特征值和第二特征值比值的绝对值来确定。这个比值越接近于1,迭代的收敛速度就越慢。文中结

5、合幂法、反幂法和原点平移法的特点,给出求解实对称矩阵特征值和特征向量的一种新的、有效的数值算法。该方法克服了幂法的不足,提高了运算速度和计算精度。通过实例验证了本算法的有效性。[4-7]1
算法原理和方法幂法、反幂法和原点平移法的方法和原理这里不再赘述,详见文献[1]。这里只就各方法在算法中的作用,以及迭代时可能出现的问题进行讨论,并且,针对在实际问题中遇到的实对称矩阵可能存在相等的特征值、互为相反数的特征值和零特征值等情况,以及这些情况可能导致采用幂法运算时精度降低、结果错误或不收敛等情况给出解决方案。*收稿日期:2006-05-17作者简介:刘叶

6、玲(1961-),女,湖南邵阳人,副教授,硕士研究生导师,主要从事应用数学及决策分析方面的研究
314西
安
科
技
大
学
学
报2007年2-1设矩阵A为n
n实对称矩阵,由线性代数知识可知,矩阵A,A,(A-
I)和(A-
I)和(A--1
I)(其中,
为实数,I为n
n单位矩阵)都是对称矩阵,且有相同的特征向量,各矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交。在本算法中,先用幂法计算矩阵A的近似特征值
和特征向量
,再对矩阵进行平移,得矩阵(A-
I),然后对矩阵(A-
I)用反幂法进行修正,最后得到矩阵A的较精确的特征值
和特征向量
。1.1用

7、幂法和原点平移法确定矩阵A的近似特征值和特征向量设已求得矩阵A的前i个特征值(i

8、=
-


,
j

j(4)j=1

=(5)


循环对
做幂法迭代,其中


表示向量的模。由于使用了