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《4.3 实对称矩阵的特征值特征向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一.向量的内积第三节实对称矩阵的特征值与特征向量记为“αTβ”或“α·β”则a1b1+a2b2+…+anbn称α与β的内积。α＝（a1,a2,…,an）Tβ＝（b1,b2,…,bn）T定义4.5α,β都是n维列向量1.内积例如：α＝（1,2,3）Tβ＝（2,4,6）T性质：(1)α·β＝β·α(2)(α＋β)·г＝α·β＋α·г(3)(kα)·β＝k(α·β)(4)α·α≥0注意:α·β是一个数.2.向量长度定义4.6设α＝（a1,a2,…,an）T则称为向量α的长度。性质:(1)‖α‖≥0α=0时等号成立(2)‖kα‖=∣k∣‖α‖(3)∣αTβ
2、
3、≤‖α‖‖β‖即是证明:(1)当α与β线性相关时,有α＝kβ或β＝kα,显然有∣αTβ
4、＝‖α‖‖β‖(2)当α与β线性无关时，对任一实数x,有:xα+β≠0因此恒有‖xα+β‖>0即有‖xα+β‖2＝（xα+β）T(xα+β)＝(xαT+βT)(xα+β)＝(αTα)x2+(αTβ+βTα)x+βTβ＝(αTα)x2+(2αTβ)x+βTβ>0恒成立.所以有△＝4(αTβ)2－4(αTα)(βTβ)<0可推出(αTβ)2<(αTα)(βTβ)＝‖α‖2‖β‖2所以∣αTβ
5、≤‖α‖‖β‖证毕此不等式称柯西－布涅可夫斯基不等式,下面证明此不等式3
6、.单位向量：长度为1的向量称单位向量。例如：α＝（1,-2,2）T‖α‖＝3定义α,β是n维向量，如αTβ=0,则称α与β正交，也称α与β垂直。例如：α＝（-1,1,1）T,β＝（2,3,-1）T,显然有αTβ=0,则α与β正交。二.正交向量组(i)αi为非零向量(i=1,2,…s)(ii)αiTαj=0(i≠j)则称α1,α2,…αs为正交向量组。特别,αi都为单位向量时,称α1,α2,…αs为单位正交向量组.定理：正交向量组一定是线性无关的。证明：设α1,α2,…αs为正交向量组,且k1α1+k2α2+…+ksαs=0用αi与上式两边内积运算得
7、：αiT(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0,得k1αiTα1+k2αiTα2+…+kiαiTαi+…+ksαiTαs=(i=1,2,…,s)又αiTαj=0(i≠j)所以有：kiαiTαi=0(i=1,2,…,s)又αi≠0得αiTαi>0因此：ki＝0（i=1,2,…s）,则α1,α2,…αs线性无关。定义.向量组α1,α2,…αs满足条件：下面介绍一种算法，可把线性无关向量组α1,α2,…αs化成正交向量组β1,β2,…,βs,此方法称为施密特正交化方法。…………容易验证β2与β1正交,βk与β1,β2,…,βk-1都正交(k=3,4,…
8、,s-1)所以不难得出β1,β2,…,βs为正交向量组。β1＝α11.正交矩阵:对n阶矩阵Q,如有QTQ＝I,则称Q为正交矩阵.2.性质:三.正交相似的概念(3)设P、Q都为正交矩阵，则PQ也是正交矩阵.(2)设Q为正交矩阵，则Q－1＝QT.(1)设Q为正交矩阵，则
9、Q
10、＝1或－1.(1)因为Q为正交矩阵，所以有:QTQ＝I则有
11、QTQ
12、＝
13、I
14、＝1可得
15、QT
16、·
17、Q
18、＝
19、Q
20、2＝1所以有
21、Q
22、＝1或－1(2)由QTQ＝I可得Q－1＝QT(3)∵P、Q都为正交矩阵∴PTP＝IQTQ＝I可推出（PQ）TPQ＝QTPTPQ＝QTIQ＝I∴PQ为正交矩阵
23、。证明:定理:n阶矩阵Q为正交矩阵的充分必要条件是其行向量组（列向量组）构成单位正交向量组。证明：只证明列的情况设Q＝(X1X2…Xn)其中Xi为Q的第i列3.判定定理∵Q为正交矩阵等价于QTQ＝I而QTQ＝I等价于∴Q为正交矩阵等价于Q的列向量组{X1X2…Xn}为单位正交向量组.可得:3.正交相似的概念定义.设A，B都是n阶矩阵，如存在正交矩阵Q，有QTAQ＝B，则称A与B正交相似。例如，可以判定下面两个矩阵都为正交矩阵1.实对称矩阵的特征值都是实数证明:设A为n阶实对称矩阵,为A的元素的共轭复数组成的矩阵λ是A的一个特征值，X是λ的一个特征向
24、量由题意所以（AX）T=（λX）T可得XTAT=λXT所以XTA=λXT两边取共轭得两边右乘X得即是λ为实数四.实对称矩阵的特征值、特征向量性质证明：设λ1、λ2是实对称矩阵A的特征值，且λ1≠λ2,X1,X2分别是属于λ1,λ2的特征向量,下证X1,X2正交∵AX1=λ1X1AX2＝λ2X2∴(AX1)T=λ1X1TX1TA＝λ1X1TX1TAX2＝λ1X1TX2所以可得λ2X1TX2＝λ1X1TX2∴（λ1－λ2）X1TX2＝0∵λ1≠λ2因此必有X1TX2＝0，即X1与X2正交.2.实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交.(此性质说明实
25、对称矩阵可与对角矩阵相似)4.实对称矩阵必然与某对角矩阵正交相似.3.实对称矩阵A的ki重特征根有ki个线性无关的特征向量
