第五章 矩阵的特征值与特征向量

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1、第五章矩阵的特征值与特征向量5.1矩阵的特征值与特征向量5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念设是阶矩阵，若存在数及非零的维列向量，使得：()成立，则称是矩阵的特征值，称非零向量是矩阵属于特征值的特征向量.5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法把定义公式改写为,即是齐次方程组的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：.所以可以通过求出所有特征值，然后对每一个特征值，分别求出齐次方程组的一个基础解系，进而再求得通解.【例5.1】求的特征值和特征向量.解：根据，可得，.当时，，所以的一个基础解系为：,，则相应的特征向量为，其中是任意常数且.当时，，所以的一个基础解系为，

2、则相应的特征向量为，其中是任意常数且.5.1.3矩阵的特征值与特征向量的性质(1)特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的积等于；(2)阶矩阵和有相同的特征值；(3)若是矩阵的特征值，则对任何正整数，是的特征值；(4)属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当是矩阵的重特征值时，矩阵属于的线性无关的特征向量的个数不超过个.5.2相似矩阵5.2.1相似矩阵的概念设，是阶矩阵，如存在可逆矩阵,使,则称矩阵和相似，记为.5.2.2相似矩阵的性质若,则：(1)，有相同的特征值；证：由于与相似，所以必有可逆矩阵，使，那么.所以，有相同的特征值.(2)；(3)；(4)相似矩阵

3、都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它的逆矩阵一定相似；(5)；(6)当时，.5.3矩阵的相似对角化5.3.1矩阵可相似对角化的概念如果阶矩阵与对角矩阵相似，则称可以相似对角化，记为，并称是的相似标准型.5.3.2矩阵可相似对角化的性质(1)阶矩阵可相似对角化的充要条件为：①矩阵有个线性无关的特征向量；②每个()重特征值对应个线性无关的特征向量.；(2)设可逆矩阵，且，则列向量是矩阵属于特征值的特征向量.5.3.3实对称矩阵的特征(1)实对称矩阵必可对角化；(2)特征值全是实数，特征向量都是实数；(3)不同特征值的特征向量互相正交；证：设，是对称矩阵的两个特征值，，是对应的特

4、征向量,则：，，.因为对称，即，所以,同理，于是，所以,又因为,所以，则和正交.【例5.2】设矩阵的特征值有重根，试求正交矩阵,使为对角形.解：，由于，所以只能是特征重根，于是必有使得成立，即：，得，从而得到矩阵的特征值，.对于，由，，所以得到线性无关的特征向量，.用Schmidt正交化方法先正交化，有：,.再将，单位化，得：,.对于，由，，所以得到特征向量，单位化为：.那么，令，则有.