特征值与特征向量、相似矩阵.ppt

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1、§1特征值与特征向量、相似矩阵第五章矩阵的特征值与特征向量§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量二、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量定义1：列向量　，使得则称数为方阵A的一个特征值，非零向量称为设A是n阶方阵，若对于数，存在n维非零A的属于特征值的一个特征向量.注：存在非零向量使§1特征值与特征向量、相似矩阵设是一个未知量，矩阵　　　称为A的定义2:特征矩阵，它的行列式特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值.称为A的特征多项式.方程称为A的注.n阶方阵A在复数范围内有n个特

2、征值.§1特征值与特征向量、相似矩阵（1）若是A的属于特征值　的特征向量，则也是A的属于　的特征向量.（3）特征向量不是被特征值所唯一确定的.（4）特征值是被特征向量所唯一确定的.（一个特征值可以有多个特征向量）（一个特征向量只能属于一个特征值）（2）也是A的属于　的特征向量.若是A的属于特征值　的特征向量，则不全为零§1特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量.并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值全部特征值.i)求A的特征多项式的全部根，它们就是A的§1特征值与特征向量、相似矩阵例1.求矩阵的特

3、征值与特征向量.例2.求矩阵的特征值与特征向量.例3.求矩阵的特征值与特征向量.例题§1特征值与特征向量、相似矩阵性质1：n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同.性质3：已知　为n阶矩阵A的一个特征值，则（1）　必有一个特征值为;（2）　必有一个特征值为;主要性质①A的全体特征值的和＝②A的全体特征值的积＝性质2：设n阶矩阵，则§1特征值与特征向量、相似矩阵（3）　　　　　必有一个特征值为;（4）A可逆时，　必有一个特征值为;（5）A可逆时，　必有一个特征值为；（6）多项式　必有一个特征值为.例4.设3阶矩阵A满足　　　　　　，则A的特征值只能是1或2.§1特征值与特征向量、相似矩阵例6

4、.已知3阶矩阵A的特征值为：1，2，3，求行列式.例7.已知3阶矩阵A的特征值为：1，—1，2，求行列式.例5：已知3阶矩阵A的特征值为：1，－1，2，则矩阵　　　　　　的特征值为：，行列式　＝.§1特征值与特征向量、相似矩阵定理1.设是A的属于不同特征值的特征向量，则线性无关.特征值的特征向量，则定理2.设是阶矩阵A的属于互不相同的线性无关.（属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关.）§1特征值与特征向量、相似矩阵值，是A的属于特征值定理3.设是阶矩阵A的互不相同的特征的线性无关特征向量，则向量组线性无关.（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）.例8

5、.设是A的属于不同特征值的特征向量则不是A的特征向量.§1特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1．定义设A，B为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得则称矩阵A相似于B，P称为相似变换矩阵.2．基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似.（2）相似矩阵的幂矩阵也相似.§1特征值与特征向量、相似矩阵（3）相似矩阵的多项式也相似.（4）相似矩阵的秩相等.（5）相似矩阵的行列式相等.（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其逆矩阵也相似.定理3.相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.§1特征值与特征向量、相似矩阵推论.设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则就是A的n个特征值.注.若矩阵A与对角矩阵

6、相似，则可方便求出A的幂及A的多项式.§1特征值与特征向量、相似矩阵作业作业2：习题3作业1：习题1，（3）作业3：习题4§1特征值与特征向量、相似矩阵