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时间:2020-04-09
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1、§1特征值与特征向量、相似矩阵第五章矩阵的特征值与特征向量§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量二、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量定义1:列向量 ,使得则称数为方阵A的一个特征值,非零向量称为设A是n阶方阵,若对于数,存在n维非零A的属于特征值的一个特征向量.注:存在非零向量使§1特征值与特征向量、相似矩阵设是一个未知量,矩阵 称为A的定义2:特征矩阵,它的行列式特征方程,其根称为A的特征根,即A的特征值.称为A的特征多项式.方程称为A的注.n阶方阵A在复数范围内有n个特
2、征值.§1特征值与特征向量、相似矩阵(1)若是A的属于特征值 的特征向量,则也是A的属于 的特征向量.(3)特征向量不是被特征值所唯一确定的.(4)特征值是被特征向量所唯一确定的.(一个特征值可以有多个特征向量)(一个特征向量只能属于一个特征值)(2)也是A的属于 的特征向量.若是A的属于特征值 的特征向量,则不全为零§1特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量.并求出它的一组基础解系,它们就是属于这个特征值全部特征值.i)求A的特征多项式的全部根,它们就是A的§1特征值与特征向量、相似矩阵例1.求矩阵的特
3、征值与特征向量.例2.求矩阵的特征值与特征向量.例3.求矩阵的特征值与特征向量.例题§1特征值与特征向量、相似矩阵性质1:n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同.性质3:已知 为n阶矩阵A的一个特征值,则(1) 必有一个特征值为;(2) 必有一个特征值为;主要性质①A的全体特征值的和=②A的全体特征值的积=性质2:设n阶矩阵,则§1特征值与特征向量、相似矩阵(3) 必有一个特征值为;(4)A可逆时, 必有一个特征值为;(5)A可逆时, 必有一个特征值为;(6)多项式 必有一个特征值为.例4.设3阶矩阵A满足 ,则A的特征值只能是1或2.§1特征值与特征向量、相似矩阵例6
4、.已知3阶矩阵A的特征值为:1,2,3,求行列式.例7.已知3阶矩阵A的特征值为:1,—1,2,求行列式.例5:已知3阶矩阵A的特征值为:1,-1,2,则矩阵 的特征值为:,行列式 =.§1特征值与特征向量、相似矩阵定理1.设是A的属于不同特征值的特征向量,则线性无关.特征值的特征向量,则定理2.设是阶矩阵A的属于互不相同的线性无关.(属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关.)§1特征值与特征向量、相似矩阵值,是A的属于特征值定理3.设是阶矩阵A的互不相同的特征的线性无关特征向量,则向量组线性无关.(对一个矩阵,属于每个特征值的线性无关特征向量,合在一起仍为线性无关).例8
5、.设是A的属于不同特征值的特征向量则不是A的特征向量.§1特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1.定义设A,B为两个n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得则称矩阵A相似于B,P称为相似变换矩阵.2.基本性质(1)相似矩阵的转置矩阵也相似.(2)相似矩阵的幂矩阵也相似.§1特征值与特征向量、相似矩阵(3)相似矩阵的多项式也相似.(4)相似矩阵的秩相等.(5)相似矩阵的行列式相等.(6)相似矩阵的可逆性相同,当它们可逆时,其逆矩阵也相似.定理3.相似矩阵的特征多项式相同,从而特征值相同.§1特征值与特征向量、相似矩阵推论.设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则就是A的n个特征值.注.若矩阵A与对角矩阵
6、相似,则可方便求出A的幂及A的多项式.§1特征值与特征向量、相似矩阵作业作业2:习题3作业1:习题1,(3)作业3:习题4§1特征值与特征向量、相似矩阵
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