特征值与特征向量.ppt

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1、特征值与特征向量【探究】1、计算下列结果：以上的计算结果与的关系是怎样的？2、计算下列结果：以上的计算结果与的关系是怎样的？例题分析Ma＝lal为矩阵M的特征值,a为矩阵M的属于特征值l的特征向量。特征值及特征向量的定义建构数学设矩阵A＝，如果对于实数l，存在一个非零向量a，使得Aa=la，则称l是矩阵A的一个特征值。a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上。这时，特征向量或者方向不变(l>0)，或者方向相反(l<0).特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量.设l是矩阵A=的一个特征值，它的一个特征向量为则即

2、满足方程组故此时Dx=0、Dy=0.则D=0即因≠0，所以x,y不全为0，建构数学设矩阵A＝，l∈R，我们把行列式称为A的特征多项式。分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f(l)=0此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解即为矩阵A的属于l的一个特征向量.数学运用例1、求出矩阵A=的特征值和特征向量能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？思考：总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：其几何意义是什么？如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。【定理1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的

3、特征向量不共线。【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：探究：1、矩阵A=的特征向量是什么？怎样从几何角度加以解释？2、从几何角度解释的特征向量。P73习题2.51.求特征值与特征向量:（2008江苏高考）设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换下得到曲线F,求F的方程.（2009江苏高考）求矩阵的逆矩阵.在平面直角坐标系xoy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k为非零实数,矩阵M=,N=，点A,B,C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。（2010江苏高考）知识回顾2、自学课本

4、69至70页内容，总结求的步骤。新课讲解建构数学建构数学任意向量都可以用特征向量来表示。数学运用P73习题2.53.例4.已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵对应的变换将点(-1,2)变成(-2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值及对应的特征向量；(3)求直线l:x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l/.l/:x-y+1=0