3、不等式。例3设，求证：sinx+tanx>2x.[证明]设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0f(0)=0，即sinx+tanx>2x.4.利用导数讨论极值。例4设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。[解]因为f(x)在(0,
4、+∞)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x∈(0,1)时，，所以f(x)在(0,1]上递减；当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1，2]上递增；当x∈(2,+∞)时，，所以f(x)在[2，+∞）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例5设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。[解]首先，当x∈[0,π],y∈[0,1]时，f
5、(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。又因为0<(1-y)xg(x)，即，又因为，所以当x∈(0,π),y∈(0,1)时，f(x,y)>0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(
6、1-y)π≥0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx≥0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。1.（2009全国卷Ⅰ理）已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为()A.1.2C.-1D.-2答案B解:设切点，则,又.故答案选B2.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.答案A解析由得几何，即，∴∴，∴切线方程，即选A3.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切
7、，则等于()A．或B．或C．或D．或答案A解析设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.4.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5,满足2x+2(x－1)=5,+＝()A.B.3C.D.4答案C解析由题意①②所以,即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2于是2x1＝7－2x25.（2009天津卷理）设函数则()A在区间内均有零点。B在
8、区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。6.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.解析由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得7.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.答案-
