3、不等式。例3设,求证:sinx+tanx>2x.[证明]设f(x)=sinx+tanx-2x,则=cosx+sec2x-2,当时,(因为0f(0)=0,即sinx+tanx>2x.4.利用导数讨论极值。例4设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值,试求a与b的值,并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。[解]因为f(x)在(0,
4、+∞)上连续,可导,又f(x)在x1=1,x2=2处取得极值,所以,又+2bx+1,所以解得所以.所以当x∈(0,1)时,,所以f(x)在(0,1]上递减;当x∈(1,2)时,,所以f(x)在[1,2]上递增;当x∈(2,+∞)时,,所以f(x)在[2,+∞)上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值,在x2=2处取得极大值。例5设x∈[0,π],y∈[0,1],试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。[解]首先,当x∈[0,π],y∈[0,1]时,f
5、(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x,令g(x)=,当时,因为cosx>0,tanx>x,所以;当时,因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以;又因为g(x)在(0,π)上连续,所以g(x)在(0,π)上单调递减。又因为0<(1-y)xg(x),即,又因为,所以当x∈(0,π),y∈(0,1)时,f(x,y)>0.其次,当x=0时,f(x,y)=0;当x=π时,f(x,y)=(1-y)sin(
6、1-y)π≥0.当y=1时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当y=1时,f(x,y)=sinx≥0.综上,当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时,f(x,y)取最小值0。1.(2009全国卷Ⅰ理)已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为()A.1.2C.-1D.-2答案B解:设切点,则,又.故答案选B2.(2009安徽卷理)已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.答案A解析由得几何,即,∴∴,∴切线方程,即选A3.(2009江西卷文)若存在过点的直线与曲线和都相切
7、,则等于()A.或B.或C.或D.或答案A解析设过的直线与相切于点,所以切线方程为即,又在切线上,则或,当时,由与相切可得,当时,由与相切可得,所以选.4.(2009辽宁卷理)若满足2x+=5,满足2x+2(x-1)=5,+=()A.B.3C.D.4答案C解析由题意①②所以,即2令2x1=7-2t,代入上式得7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1)∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得t=x2于是2x1=7-2x25.(2009天津卷理)设函数则()A在区间内均有零点。B在
8、区间内均无零点。C在区间内有零点,在区间内无零点。D在区间内无零点,在区间内有零点。解析:由题得,令得;令得;得,故知函数在区间上为减函数,在区间为增函数,在点处有极小值;又,故选择D。6.若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是.解析由题意该函数的定义域,由。因为存在垂直于轴的切线,故此时斜率为,问题转化为范围内导函数存在零点。解法(分离变量法)上述也可等价于方程在内有解,显然可得7.(2009陕西卷理)设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为.答案-