浙江师范大学《微分几何》考试卷05.docx

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1、浙江师范大学《微分几何》考试卷（2005----2006学年第一学期）考试形式闭卷使用学生数学031-034考试时间150分钟出卷时间2005年12月20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题（每空2分，共16分）1、向量函数XX(t)是定长的充要条件是.2、柱面X{F(u),G(u),v}的第一基本形式为。3、若曲面和曲面1:X{x,y,2}等距，则的高斯曲率K=。4、坐标网是渐近线网的充要条件是。5、若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是。6、曲面X(u,v)uv,uv,

2、uv在(u,v)(2,1)的切平面方程为曲线；法线方程为。7、曲面上沿着一条非直线的曲线，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线是曲面上曲线。二、是非题（每小题2分共10分）1、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。（）2、球面上每一条曲线都是曲率线。（）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。（）4、高斯曲率不是内蕴量。（）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。（）三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、问是否存在曲面使得g111,g120,g22cos2u,11c

3、os2u,120,221。为什么？、求曲线X1t21t3的曲率k和挠率。2t,,233、求曲线YY(s)的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。4、求曲面:I2(du1)2d(u2)2的高斯曲率K。5、求正螺面Xu1cosu2,u1sinu2,au2上测地线的方程。6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。7、设非直线曲线和另一条曲线*之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是*的主法线，证明是平面曲线。8、若两曲面1，2相交于定角，且交线

4、是1的曲率线，则也是2的曲率线。9、证明：对曲面上的曲线有（1）若渐近曲线同时为测地曲线，则它必是直线；（2）若曲率线同时为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学《微分几何》考试卷参考答案（2005----2006学年第一学期）考试形式闭卷使用学生数学031-034考试时间150分钟出卷时间2005年12月20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题（每格2分共16分）、X(t)Xt),01(2、(F2(u),G2(u),)du2dv23、K=04、L=N=05、平面曲

5、线x3y1z26、3xy2z40，3127、测地二、是非题（每小题2分共10分）1-5：错，对，错，错，对。三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、答：不存在（3分）因为g111,g120,g22cos2u,L11cos2u,L120,L221不满足科达齐方程(L22)u(L12)vL11(g22)uL12(g11)vg11=0g22g22g11g22左边=sinu(cos2ucos2u)0（5分）2、解：因为Xt,1t2,1t323X,1,t,t2，X,,0,1,2t，X,,,0,0

6、,2（4分）

7、X,X,,1k

8、=(t44t21)2（2分）,33

9、X

10、(t4t21)2(X,,X,,,X,,,)2（2分）(X,X,,)2t4t213、解：设曲线YY(s)（s为弧长参数）的切线曲面为XY(s)v(s)，则有Xsvk，XvXssvk2(kvk.)vk，Xstk，Xvv0（2分）E=1+v2k2，F=1，G=1L=vk,M=0，N=0（2分）k10,k2vk（1分）H=2vk（1分）dv2dsdvds2曲率线方程为1v2k211=0，即s=常数，或v=-s+c（2分）vk004、解：因为为正

11、交网，所以K1(G)u)u(E)v)v)（3分）EG((E(G1u)u(v)v)（2分）=-2((=12((ln)uu(ln)vv)（3分）5、解：因为Xvcosu,vsinu,uE=v21,F0,G1（2分）由测地线方程为dvEtanduGd1ElnE1lnGtan（2分）du2Gv2udv1dvv21tanv21cosccotanc，则测地线方程为v21c2ucdv（4分）v21v21c26、证：因为是极小曲面，所以k1k20，为非平面，即有k1k20,（2分）则K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。必

12、有两族渐近曲线。（2分）设两族渐近曲线主方向的交角为1,2，则由欧拉公式有tan1,2k1=1,1,24（3分）k24两族渐近曲线正交（1分）7、设曲线：XX(s)（s为弧长参数）则*为X*X(s)(s)（1分）两边对s求导有X*,(1.)k（1）（1分）因为*，上式两边点积*有1.0代入（1）（2分）即有X*,k（2）再求导有X*,,(.kk.)k(k)（3）（1分）X*,X*,,2k32k2（4）（4）再两边点积*有2k2