华中师范大学微分几何试题答案(06-09)

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1、华中师范大学2004–2005学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案课程名称微分几何课程编号42121100任课教师周振荣题型填空计算证明应用总分分值10701010100得分得分评阅人一、填空题：（共5题，每题2分，共10分）1．曲线的伏雷内公式为2．设曲面的参数表示为，则用第一基本量表示为3．曲面的高斯方程为4．曲面的科达齐方程为5．第二类克氏符号得分评阅人二、计算题：（共3题，70分）1．圆柱螺线的参数表示为。计算它在点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：，所以切线：，即法平面

2、：，即密切平面：，即。，2．计算抛物面的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分）解：，，所以有，，在脐点有，由此得，即唯一的脐点是原点。得分评阅人三、证明题：（共1题，10分）若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。证明：取渐进网为曲纹坐标网，则曲线与曲线的夹角为常数，且曲线方向的法曲率为零。根据欧拉公式有得分评阅人四、应用题：（共1题，10分）用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。解：由于在测地线上由高斯-波涅公式有。矛盾华中师范大学2005–2006学年第二学期期末

3、考试试卷（A卷）课程名称微分几何课程编号42121100任课教师周振荣题型叙述填空计算证明总分分值10303030100得分得分评阅人一、叙述题：（共4题，每题5分，共10分）1．高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或2．高斯-波涅公式：其中是的第个内角的角度，是外角的角度．得分评阅人二、填空题：（共5空，每空6分，共30分）3．设有曲线，当时的切线方程为。4．设曲面的参数表示为，则用第一基本量表示为。5．曲线在原点的切向量为，主法向量为、副法向量为。得分评阅人三、计算题：（共2题，每题15分，共30分）6．圆柱螺线的参数

4、表示为。计算它的曲率和挠率。解，，，，，．所以有，．▌7．计算正螺面的高斯曲率、平均曲率。解，，，，，，，，，，，，，，得分评阅人四、证明题：（共2题，每题15分，共30分）8．求证（1）如果测地线是渐近线，则它必定是直线。（2）如果测地线是曲率线，则它必定是平面曲线。证明（1）由，如果曲线是测地线（）且是渐近线（），则，所以曲线是直线。（2）由伏雷内公式有。由于曲线是测地线，有。综合这两个等式有。因为曲线是曲率线，所以是Weingarten变换的特征向量，即，其中是主曲率。再由Weingarten变换的定义，所以

5、，。▌9．证明球面上曲线的测地曲率为，其中是曲线与球面上经线（-曲线）的夹角。证明因为经线是-曲线，所以是曲线与-曲线的夹角。直接计算得，，。因为，另一方面，由链式法则有。比较这两式得，。代入刘维尔公式得华中师范大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案课程名称微分几何课程编号42121100任课教师郭驼英、周振荣题型简述填空计算证明总分分值15204520100得分得分评阅人一、简述题：（共3题，每题5分，共15分）1．什么叫内蕴量？请举两个内蕴量的例子。答由第一基本形式决定的量叫内蕴量。如高斯曲

6、率、曲面区域的面积。2．请叙述曲面的基本定理．答给定两个二次型和，其中。如果与满足高斯、科达齐方程，则存在曲面，使得第一基本形式是，第二基本形式是；如果忽略空间的位置差别，这样的曲面是唯一的。3．第二基本形式吗？为什么？答。这是因为，两边微分得。再由第二基本形式的定义即得。得分评阅人二、填空题：（共4空，每空5分，共20分）4．设有曲线，则当时的切线方程为。5．设曲面的第一基本形式为，则其上的曲线从到的弧长为。（这里）6．设曲面在某点处的第一基本量为，第二基本量为，则曲面在该点沿方向的法曲率为。7．设曲面在某点处的

7、第二基本量为，则曲面在该点的渐近方向为。得分评阅人三、计算题：（共3题，每题15分，共45分）8．求曲线的曲率和挠率，其中，。解由一般参数的曲率公式和挠率公式以及有，，，▌9．计算抛物面的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为，则，，，，，，，，，，，，，，．10．求位于正螺面上的圆柱螺线的测地曲率。解因为，所以是正交网。圆柱螺线是-曲线，由刘维尔定理有。直接计算得，所以。得分评阅人四、证明题：（共2题，每题10分，共20分）11．求证直纹面的高斯曲率，等号成立的充要条件是直纹面可展。证明直纹面的参数表示为。由

8、此得，，，，，，，，。所以，等式成立的充要条件是，即曲面是可展曲面。12．设有曲面，其单位法向量是，高斯曲率是。证明。证明因是切向量，所以。设。两边与作内积得。由拉格朗日公式得。华中师范大学2009–2010学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案课程名称微分几何课程编号85820002任课教师周振荣题型简述填空计算证明总分分值15204520100得分得分评阅