浙江师范大学《微分几何》全套模拟卷.doc

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1、浙江师范大学《微分几何》考试模拟卷（A卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换()2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线.()4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的()5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量().1.×2.√3.×4.×5.√二、填空题（每小题3分，共15分）1.半径为的圆的曲率为_________.2.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,3.坐标曲

2、线网成为曲率线网的充要条件是______________.4.在脐点处曲面的第一,第二类基本量满足____________________,5.使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.1.2.F=03.4.，5、主方向三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分）1.已知空间正则参数曲线(1)求基本向量.(2)求的曲率和挠率.解：所以，曲率和挠率为2、求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.解：令，则，由于，所以坐标曲线是曲率线，主曲率为,高斯曲率为，平均曲率为.3、设一个

3、曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角.解：有题意可知两曲线的交点为(0,0)，故由得4.确定螺旋面上的曲率线。解对于正螺面，曲率线的方程为，化简得，即。积分得。所求曲率线为，。五、证明题((每小题各9分，共27分)1.证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.证：主法线曲面方程为，是直纹面又因为有已知，所以，有定义知此直纹面是不可展曲面。2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.证：设所给的常向量为，则。所以，两边对求微商得，即。若，则曲线是直线。若，则，于是，，由于，所以有。由可知，从而，所以，即曲线为平面直线3

4、、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证设曲线Γ：=与：点s与一一对应，且对应点的切线平行，则=,两端对s求微商得,即，(这里k0，若k==0，则无定义)，所以∥，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。浙江师范大学《微分几何》考试模拟卷（B卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、保角变换一定是等距变换(　　　)2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.(　　　)3、坐标曲线网是正交网的充要条件是

5、，这里是第一基本量(　　　)4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.(　　　)5、测地曲率是内蕴量(　　　)1.´2.´，3√4.Ö5.Ö二、填空题（每空3分共30分）1、已知，，则①，②，③，④2、已知曲面，，，则它的第一基本形式为⑤，第二基本形式为⑥，高斯曲率⑦，平均曲率⑧，点处沿方向的法曲率⑨，点处的两个主曲率分别为⑩.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩三、计算题（每小题12分共36分）1、求曲面的渐近曲线.解设则，，，，，，因渐近曲线的微分方程为即或渐近曲线为或1、已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率.解，，，u-线的测地曲率v-线的测地曲率3、求曲

6、线的曲率和挠率：解：因为，，，，，，，，所以，四、证明题（每小题12分，共24分）1.设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.证设，，则由知，从而，，，即这表明曲线和在对应点的切线夹固定角.2.给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线.证设，，其中是的自然参数，记，则，两边求导，得，由为曲率线知，即，因此.若，则为平面曲线；若，则因为曲面上的一条曲率线，故.而，所以，即为常向量.于是为平面曲线.浙江师范大学《微分几何》考试模

7、拟卷（C卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.(　　　)2.曲面上曲率线网一定存在.(　　　)3.存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面(　　　)4.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。(　　　)5.曲面上的直线一定是测地线。(　　　)1、×，2√，3×，4×，5√二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是_____________。2.曲线r=r(t)的挠率

8、是_____________。3.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件______