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《(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、浙江师范大学数理与信息工程学院 模拟试题1一、填空题:(每小题2分,共8分)1.方程的通解是①;2.是全微分方程(恰当方程)的充要条件②;3.方程的通解是③;4.方程的特解可设为④.·参考答案o1. 2.o3. 4. 二、是非判断题:(每小题2分,共12分)1.如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解;2.方程(是实数)的通解是;3.如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中）的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4.方程(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5.如果
2、、均为方程组的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得成立;6.方程=2满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0.·参考答案浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院o1.×,2.×,3.√,4.√,5.√,6. ×.三、(24分)求解下列各方程:1．=;2.=;3.;4..·参考答案o1.=通解为或者写成;o2.======,即,通解为;o3.,设,则==,所以,即得通解;o4.x()2-2y()+x=0,设,则,两边关于求导得或.由得,浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院所以通解是,由得奇解.四、(20分)求
3、下列各方程的通解:1.;2..·参考答案o1.的通解是,设原方程的特解是,将代入原方程得,所以有,所以原方程的通解是;注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分.o2.设则原方程化为,(其中),即,此方程通解是,所以原方程的通解是.五、(14分)解方程组:·参考答案浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院o由=0得,所以，特征值是.对于，设(6分)代入方程组可得记,,则.对于,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是,或者写成.六、(12分)已知微分方程,其中g(x)= 试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且
4、在区间内满足上述方程.·参考答案o1.当时,,所以,.由得;浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院当时,,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.所以,所求函数是. 七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:1．2．·参考答案o1.一次近似方程是,特征方程,,.因为,特征根的实部都,所以原方程组的零解是渐近稳定的.o2.构造Lyapunov函数(定正),则定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的. 模拟试题2 一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）1．方程是阶是(非)线性方程.2．若方程（连续）是
5、全微分方程，则满足关系.3．李普希兹条件是保证初值问题解唯一性的条件.浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院4．对于一阶方程（p(x),q(x)∈C(a,b)）,则其任一解的存在区间是.5．对于欧拉方程，只需作变换，即可将其化为常系数线性方程.6．对于二阶方程，其由解所构成的Wronski行列式必为.7．对于常系数线性齐次方程组，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当∞时.8．单摆运动方程可化为一阶方程组.·参考答案1.三，非2．3．充分，4．(a,b)，5．，o6．常数，7.趋于零，8..二．求解下述方程：（每小
6、题6分，共42分）1．2．3．4.5.6.7.·参考答案浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院o1.(6分)o2.，解为o3.积分因子为，解为(6分)；o4.设(1分)，令，解为(6分)；o5.（I）当，;（II）当,不防设a>0,则方程的两个基本解为，易求得一个特解所以此时方程的解为o6.x″+x=0的通解是(2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入原方程得，所以有,所以原方程的通解是注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分o7.,设，则（2分）.浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院所以，原
7、方程化为由得，因此得（6分）三．（本题11分）1．何谓是线性齐次方程组的基解矩阵？2．试求系数矩阵A=上述方程组的基解矩阵.·参考答案o1.称是的基解矩阵，如果满足（a）(b).（4分）o2.令，可求得（7分）对于由可取,对于，由可取对于，由可取因此基解矩阵为.（11分）浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院四．讨论题：（本题12分）研究方程1．当n=1,方程是什么类型的方程？并求解之。2．当n=2,方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。·参考答案o1.当n=1时，方程为线性非
8、齐次方程，其解为（3分）o2.当n=2时，方程为Riccati方程，通过观察，易
